Milnor-Sphäre

Eine Milnor-Sphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, welche homöomorph, aber nicht diffeomorph zur siebendimensionalen Sphäre ist. Konstruiert wurden diese erstmals von John Milnor im Jahr 1956 und waren historisch die ersten Beispiele für exotische Sphären.

Sieben Dimensionen

Die gewöhnliche $7$-Sphäre $S^{7}$ ist ein $S^{3}$-Faserbündel über $S^{4}$, bekannt als quaternionische Hopf-Faserung.

Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

Konstruktion

Ein $S^{3}$-Faserbündel lässt sich allgemein als Sphärenbündel eines vierdimensionalen reellen Vektorbündels darstellen. Über der $4$-Sphäre $S^{4}$ (welche sich als Verklebung von zwei $4$-Scheiben $D^{4}$, der Nord- und Südhalbkugel, an ihrem Rand $S^{3}$, dem Äquator, darstellen lässt), ergibt sich jedes vierdimensionale reelle Vektorbündel als Verklebung von zwei trivialen vierdimensionalen reellen Vektorbündeln über den beiden $4$-Scheiben $D^{4}$ (nicht trivial ist nicht möglich, da $D^{4}$ zusammenziehbar ist) entsprechend einer Abbildung $S^{3}\rightarrow \operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$ an ihrem Rand $S^{3}$. Das dadurch konstruierte Vektorbündel hängt nur von der Homotopieklasse der Abbildung ab. Es besteht sogar eine Bijektion:

$\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{4}(S^{4})\cong \pi _{3}\operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$.

In englischer Literatur ist diese Konstruktion (mit Vektorbündeln allgemeinen Ranges über Sphären allgemeiner Dimension, wofür $\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(S^{k})\cong \pi _{k-1}\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$) als Clutching Construction bekannt.

Für jedes Paar $(h,k)\in \mathbb {Z} ^{2}$ ganzer Zahlen gibt es daher bis auf Isomorphie ein vierdimensionales reelles Vektorbündel $\xi _{h,k}\colon E_{h,k}\rightarrow S^{4}$ über $S^{4}$. Für die Euler-Klasse und erste Pontrjagin-Klasse dieses Vektorbündels gilt:

$e(\xi _{h,k})=(h+k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$

$p_{1}(\xi _{h,k})=2(h-k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$,

wobei $\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1}$ das tautologische Linienbündel über der quaternionischen projektiven Linie $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ ist.

Das Sphärenbündel $S(E_{h,k})$, eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, ist nun der Rand des Scheibenbündels $D(E_{h,k})$, einer achtdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit. Mithilfe von Morse-Theorie lässt sich zeigen, dass $S(E_{h,k})$ für $|h+k|=1$ homöomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$ ist. Wäre $S(E_{h,k})$ ebenfalls diffeomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$, ließe sich das Kofaserprodukt $M_{h,k}=D(E_{h,k})+_{S(E_{h,k})}D^{8}$ betrachten. Wird $D^{8}$ in dieser auf einen Punkt kollabiert, ergibt sich der Thom-Raum $\operatorname {Th} (E_{h,k})=D(E_{h,k})/S(E_{h,k})=M_{h,k}/D^{8}$. Mithilfe des Thom-Theorems folgt daraus, dass $H^{4}(M_{h,k},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ und $H^{8}(M_{h,k},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$, weshalb die Schnittform eine $1\times 1$-Matrix ist und die Signatur nur die Werte $\sigma (M_{h,k})=\pm 1$ annehmen kann. Da $M_{h,k}$ achtdimensional ist, lässt sich ebenfalls der Hirzebruchsche Signatursatz zur Berechnung der Signatur anwenden. Es gilt

$\sigma (M_{h,k})=\langle L_{2}(p_{1}(M_{h,k}),p_{2}(M_{h,k})),[M_{h,k}]\rangle$

mit dem L-Geschlecht:

$L_{2}(p_{1}(M_{h,k}),p_{2}(M_{h,k}))={\frac {1}{45}}\left(7p_{2}(M_{h,k})-p_{1}^{2}(M_{h,k})\right).$

Die Unkenntnis der zweiten Pontrjagin-Klasse $p_{2}(M_{h,k})$ kann (nach Multiplikation beider Seiten mit $45$) durch den Übergang der Werte auf die Restklasse $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ umgangen werden, da der entsprechende Summand dann verschwindet. Es ergibt sich:

$\pm 3\equiv 4(h-k)^{2}\operatorname {mod} 7\Rightarrow (h-k)^{2}\equiv 1\operatorname {mod} 7.$

Für Paare $(h,k)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit $|h+k|=1$ und $(h-k)^{2}\not \equiv 1\operatorname {mod} 7$ ergibt sich ein Widerspruch, welcher nur dadurch gelöst werden kann, dass die glatte Verklebung von $S(E_{h,k})$ mit $S^{7}$ in der Konstruktion von $M_{h,k}$ nicht möglich ist, also diese nicht diffeomorph sind. $S(E_{h,k})$ ist dann eine exotische Sphäre ist.

Literatur

• John Milnor: On Manifolds Homeomorphic to the 7-Sphere. In: Annals of Mathematics. Band 64, Nr. 2, 2015, JSTOR:1969983 (uchicago.edu [PDF]). 
• Rachel McEnroe: Milnor's construction of exotic 7-spheres. 2015 (uchicago.edu [PDF]). 
• Jhan-Cyuan Syu: Milnor's exotic 7-spheres. 2017 (edu.tw [PDF]). 

Weblinks

• exotic 7-sphere auf nLab (englisch)