Milstein-Verfahren

Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).

Algorithmus

Betrachte die Itō-SDGL

$\mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t},$

mit Anfangsbedingung $X_{0}=x_{0}$, wobei $W_{t}$ den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall $[0,T]$ gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation $Y$ für die wahre Lösung $X$ auf einem äquidistanten Gitter:

• Zerlege das Intervall $[0,T]$ in $N$ gleich lange Teilintervalle der Länge $\delta >0$:

$0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T$ und $\delta ={\tfrac {T}{N}}$.

• Setze $Y_{0}:=x_{0}$.

• Definiere $Y_{n+1}$ für $0\leq n<N$ durch

$Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right),$

wobei

$\Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}$

und $b'$ die Ableitung von $b(x)$ bezüglich $x$ ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen $\Delta W_{n}$ unabhängig normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz $\delta$.

Konvergenz

Mit den obigen Bezeichnungen gilt $E[|Y_{n}-X(\tau _{n})|]={\hbox{o}}(\delta )\;$ für $\delta \to 0$ und alle $n=0,...,N$, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht. ${\hbox{o}}$ ist dabei ein Landau-Symbol.

Siehe auch

• Euler-Maruyama-Verfahren

Literatur

• Peter E. Kloeden, Eckhard Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin, 1999, ISBN 3-540-54062-8.