Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).

Algorithmus

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Betrachte die Itō-SDGL

 

mit Anfangsbedingung  , wobei   den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall   gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation   für die wahre Lösung   auf einem äquidistanten Gitter:

  • Zerlege das Intervall   in   gleich lange Teilintervalle der Länge  :
  und  .
  • Setze  .
  • Definiere   für   durch
 

wobei

 

und   die Ableitung von   bezüglich   ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen   unabhängig normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz  .

Konvergenz

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Mit den obigen Bezeichnungen gilt   für   und alle  , weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht.   ist dabei ein Landau-Symbol.

Siehe auch

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Literatur

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