Monge-Ampèresche Gleichung

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung, oder Monge-Ampère'sche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in $n$ Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem („problème du remblai-déblai“, etwa: „Problem von Erdaufschüttung und -aushub“) für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen. Die Gleichung ist zusätzlich nach André-Marie Ampère benannt, der sich mit ihr um 1820 befasste.

Mathematische Formulierung

Allgemein hat eine Monge-Ampère'sche Gleichung über einem offenen Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ die Form

$\det \,D^{2}u=f$

wobei $u\colon \Omega \to \mathbb {R}$, mit $u=u(x_{1},\ldots ,x_{n})$ die unbekannte Funktion ist, $f\colon \Omega \times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R}$ eine gegebene Funktion $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})$, und

$D^{2}u={\begin{pmatrix}u_{x_{1}x_{1}}&\cdots &u_{x_{1}x_{n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{x_{n}x_{1}}&\cdots &u_{x_{n}x_{n}}\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{mit }}u_{x_{i}x_{j}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.$

die Hesse-Matrix von $u$. Speziell für den zweidimensionalen Fall $n=2$ ergibt sich die einfache Gestalt

$u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2}=f$

mit $(x,y)\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ und den Funktionen $u(x,y)$ und $f(x,y,u,u_{x},u_{y})$. Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge-Ampère'sche Gleichung bezeichnet:

$Ar+2Bs+Ct+(rt-s^{2})=E,\qquad {\mbox{mit }}r=u_{xx},\ s=u_{xy},\ t=u_{yy},\ p=u_{x},\ q=u_{y},$

wobei $A,B,C$ und $E$ Funktionen von ($x,y,u,p,q$) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit $A=B=C=0$ und $E=f$ die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel

Sei $n=2$ und $f(x,y)=4(1-y^{2})(1-x^{2})-16x^{2}y^{2}$. Dann ist $u(x,y)=(1-x^{2})(1-y^{2})$ eine Lösung der Monge-Ampère'schen Differentialgleichung, denn $u_{xx}=-2(1-y^{2}),$ $u_{yy}=-2(1-x^{2}),$ $u_{xy}=u_{yx}=-4xy,$ und daher $\det \,D^{2}u=\det {\begin{pmatrix}-2(1-y^{2})&-4xy\\-4xy&-2(1-x^{2})\end{pmatrix}}=f(x,y).$

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in $n$ Variablen. Erläuterungen:

• „partielle Differentialgleichung“, denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion $u$ gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.

• „voll nichtlinear“, da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von $u$ quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge-Ampère'schen Gleichungen, die für $n=2$ die Bedingungen $AC-B^{2}+E>0$ und $t+A>0$ erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach $f>0$.

Anwendungen

Die meisten Anwendungen der Monge-Ampère'schen Gleichung sind innermathematischer Art insbesondere in der Differentialgeometrie. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine Monge-Ampère'sche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen Monge-Ampère'schen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu Monge-Ampère'schen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli, Alexei Wassiljewitsch Pogorelow, Thierry Aubin, Sébastien Boucksom, Alessio Figalli und Guido de Philippis.

Weblinks

• Plots von Lösungen Monge-Ampèrescher Gleichungen (Memento vom 5. Februar 2005 im Internet Archive)
• Eintrag in MathWorld (engl.)
• Pogorelov Monge-Ampère equation, Encyclopedia of Mathematics, Springer