Das Moyal-Produkt (nach José Enrique Moyal), auch Weyl–Groenewold-Produkt (nach Hermann Weyl und Hilbrand Johannes Groenewold), ist in der Mathematik eine zweistellige Verknüpfung auf dem Funktionenraum der glatten Funktionen über . Das assoziative, nicht-kommutative Produkt ist ein Spezialfall des Sternproduktes auf allgemeinen Poisson-Mannigfaltigkeiten.[1][2]

Das Moyal-Produkt ist eine „Deformierungsquantisierung“ einer linearen Poisson-Mannigfaltigkeit, das heißt, die Algebra der klassischen Observablen wird deformiert, sodass eine nicht-kommutative Algebra von Quanten-Observablen entsteht (Quantisierung).[3]

Definition

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Seien   zwei glatte Funktionen, deren Funktionsargumente mit   notiert werden. Dann ist das Moyal-Produkt, mittels   notiert, definiert als

 

wobei   das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist und   die Ableitung von   und   von   bedeutet.

Dabei wird der Operator

 

mittels der Bidifferentialoperator-Notation als zweistellige Verknüpfung geschrieben, das heißt der Differentialoperator   wirkt sowohl auf die Funktion vor als auch auf die Funktion hinter dem Operatorsymbol.

Eigenschaften

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Definitionsgemäß kann das Moyal-Produkt als eine Reihe mit gewissen Differentialoperatoren   geschrieben werden:

 

Das Produkt   hat folgende Eigenschaften:

  •  
  •    (für   siehe Poisson-Klammer)
  •     (1 ist die konstante Funktion mit Wert 1)
  •     (der Querstrich steht für die komplexe Konjugation)

Geschichte

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Auch wenn das Moyal-Produkt nach Moyal benannt ist, wurde es erstmals 1946 von Groenewold in seiner Doktorarbeit eingeführt.[4] In den 1970ern wurde dann das formelle Sternprodukt eingeführt (Bayen, Flato, Frønsdal, Lichnerowicz, und Sternheimer).[5]

1983 zeigten Lecomte und De Wilde, dass auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit Sternprodukte existieren.[6] 1994 zeigte B.V. Fedosov, wie Sternprodukte auf symplektischen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden.[7] 1997 bewies Maxim Konzewitsch, dass auf jeder endlichdimensionalen Poisson-Mannigfaltigkeit Sternprodukte existieren.[8] Für diese und andere Arbeiten bekam er die Fields-Medaille.[9]

Einzelnachweise

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  1. star product. Abgerufen am 24. Mai 2021.
  2. Maciej Blaszak, Ziemowit Domanski: Phase Space Quantum Mechanics. In: arXiv:1009.0150 [math-ph, physics:quant-ph]. arxiv:1009.0150.
  3. Chiara Esposito: Lectures on Deformation quantization of Poisson manifolds. In: arXiv:1207.3287 [math-ph]. 18. Juli 2012, arxiv:1207.3287 (arxiv.org [PDF; abgerufen am 26. Mai 2021]).
  4. H. J. Groenewold: On the principles of elementary quantum mechanics. In: Physica. Band 12, Nr. 7, 1. Oktober 1946, S. 405–460, doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4 (rug.nl [PDF]).
  5. Pankaj Sharan: Star-product representation of path integrals. In: Physical Review D. Band 20, Nr. 2, 15. Juli 1979, S. 414–418, doi:10.1103/PhysRevD.20.414.
  6. Marc de Wilde, Pierre B. A. Lecomte: Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds. In: Letters in Mathematical Physics. Band 7, Nr. 6, 1. November 1983, S. 487–496, doi:10.1007/BF00402248.
  7. Boris V. Fedosov: A simple geometrical construction of deformation quantization. In: Journal of Differential Geometry. Band 40, Nr. 2, Januar 1994, S. 213–238, doi:10.4310/jdg/1214455536.
  8. Maxim Kontsevich: Deformation Quantization of Poisson Manifolds. In: Letters in Mathematical Physics. Band 66, Nr. 3, 1. Dezember 2003, S. 157–216, doi:10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arxiv:q-alg/9709040v1.
  9. nLab: Maxim Kontsevich. Abgerufen am 28. Mai 2021.