Die Multivariate Gammafunktion ist die Verallgemeinerung der Gammafunktion. Sie findet Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen und der multivariaten Statistik, da sie unter anderem in der Wishart-Verteilung und der matrixvariaten Beta-Verteilung auftaucht. Sie wird als notiert.[1]

Definition

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Sei   der Raum der symmetrischen, positiv definiten reellen  -Matrizen. Die multivariate Gammafunktion ist definiert als die Funktion

 

für  ; hierin ist bezüglich aller nichtunteren Dreieckseinträge (d. h. oberer Dreieckseinträge samt Hauptdiagonaleinträgen) des Argumentes   zu integrieren, da  .

Eigenschaften

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Für Berechnungen eignet sich folgender Satz:

  • Sei  , dann gilt
 

Beweis-Idee: Teile  , wobei   eine untere Dreiecksmatrix ist. Nutze den Transformationssatz mit der Funktionaldeterminante

 .
  • Rekursion:
 

Somit:

 
 
 

Verallgemeinerungen

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Die verallgemeinerte multivariate Gammafunktion ist definiert als

 

mit   und  .

Ableitungen

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Die multivariate Digamma-Funktion:

 

und die Verallgemeinerung als multivariate Polygammafunktion:

 
  1. A. K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 18.