Das Neunerlemma, wegen der Struktur des unten abgebildeten Diagramms auch 3×3-Lemma genannt, ist eine mathematische Aussage über kommutierende Diagramme und exakte Folgen, die sowohl für jede abelsche Kategorie als auch für die Kategorie der Gruppen gültig ist.

Ist (in einer abelschen Kategorie oder der Kategorie der Gruppen) das Diagramm

 

kommutativ und sind alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt, so ist auch die obere Zeile exakt. Ebenso gilt: Sind alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt, so ist auch die untere Zeile exakt.[1]

Der Beweis erfolgt durch Diagrammjagd, zunächst unter der Annahme, dass das Diagramm die Kategorie der Gruppen betrifft. Der Einfachheit halber seien alle horizontalen Abbildungen mit  , alle vertikalen mit   bezeichnet. Das neutrale Element der Gruppen heiße jeweils  . Der Beweis zeigt die typische Eigenschaft von Diagrammjagden, dass der schriftliche Beweis zwar aus lauter trivialen Einzelschritten besteht, die zusammen jedoch verwirrend oder unmotiviert wirken – erst wenn man die Schritte am Diagramm nachverfolgt, werden die Zusammenhänge einleuchtend.

Seien zunächst alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt.

  • Ist   mit  , so  . Hieraus folgt mit der Injektivität von   auch   und mit der von   schließlich  .
  • Ist  , so ist  , also  .
  • Ist   mit  , so  , also   für ein  . Aus   folgt auch  , also   für ein  . Dann ist  , woraus bereits   folgt.
  • Ist  , so gibt es ein   mit  . Wegen   gibt es ein   mit  . Weiter gibt es ein   mit  , also  . Somit unterscheiden sich   und   um   für ein geeignetes  , d. h. es gilt  . Dann ist   und schließlich auch  .

Alle Punkte zusammen zeigen die Exaktheit der ersten Zeile.

Seien jetzt alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt.

  • Ist  , so   für ein   und dann   für ein  , jeweils per Surjektivität von   bzw.  . Dann ist  .
  • Ist  , so   für ein  . Dann  .
  • Ist   mit   und wählen wir ein   mit  , so  , also   für ein  . Weiter   für ein  . Dann ist  , also   für ein  . Schließlich ist  .
  • Ist   mit   und wählen wir   mit  , so  , also   für ein  . Es ist  , daher bereits  . Folglich   für ein  . Aus   folgt bereits   und somit  .

Zusammen ergibt dies wiederum die Exaktheit der letzten Zeile.

Der zunächst für Gruppen durchgeführte Beweis gilt (ggf. in additive Schreibweise übersetzt) ebenso für abelsche Gruppen oder auch für Moduln über einem Ring. Durch den Einbettungssatz von Mitchell ist dies aber bereits ausreichend, um das Neunerlemma für alle abelschen Kategorien zu beweisen.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kapitel II, Lemma 5.1 (The 3x3-Lemma)