Newtonpolygon

In der Mathematik ist das Newtonpolygon ein Werkzeug zur Untersuchung von Polynomen.

Definition

Das Newtonpolygon von $P(x,y)=$$3x^{2}y^{3}-xy^{2}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y$ ist die konvexe Hülle von (2,3), (1,2) und (3,1), der Punkt (2,2) liegt im Inneren.

Es sei

$P(x,y)=\sum _{i,j}a_{ij}x^{i}y^{j}$

ein Polynom in zwei Variablen x und y. Dann ist das Newtonpolygon von P die konvexe Hülle von

$\left\{(i,j)\in \mathbb {R} ^{2}:a_{ij}\not =0\right\}$.

Analog kann man ein Newtonpolytop für Polynome in mehr als zwei Variablen definieren. Die Definition lässt sich verallgemeinern auf Polynome mit Koeffizienten in einem bewerteten Körper.

Anwendungen

Newtonpolygone werden in der Analysis bei der Lösung nicht-linearer Gleichungssysteme, in der Zahlentheorie bei der Faktorisierung von Polynomen über lokalen Körpern und in der Topologie bei der Konstruktion von Knoteninvarianten verwendet.

Literatur

• Shui-Nee Chow, Jack K. Hale: Methods of Bifurcation Theory. (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Volume 251). Springer, New York 1982, ISBN 1-4613-8161-4.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-37547-3.