Der Newtonsche Knoten (benannt nach Isaac Newton) ist eine ebene algebraische Kurve vom Grad drei, also eine Kubik. Sie ist rational, also birational äquivalent zur projektiven Geraden. Sie ist mit der Neilschen Parabel (bis auf Koordinatentransformation) die einzige rationale Kubik in der Ebene.

Der Newtonsche Knoten in der reellen affinen Ebene

Definition

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Der Newtonsche Knoten ist eine algebraische Kurve im zweidimensionalen affinen oder projektiven Raum. Sie wird durch die Gleichung

 

beschrieben, in homogenen Koordinaten:

 

Eigenschaften

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Nach Newtons Klassifikation kubischer Kurven gehört der Newtonsche Knoten   zu den divergierenden Parabeln.

Rationalität

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Sie hat eine rationale Parametrisierung

 
 

Die Parametrisierung zeigt, dass der Newtonsche Knoten rational, also birational äquivalent zum   ist.

Duale Kurve

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Die duale Kurve   besitzt die Parametrisierung:

 
 

  ist eine herzförmige Quartik und wird Kardioide genannt.

Singularität

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Die Singularität ist ein Doppelpunkt. Für die obige Abbildung   gilt:

 

In einer Umgebung der Singularität sieht die Kurve anschaulich so aus wie der Schnittpunkt zweier Kurven.

Betrachtet man die Kurve über den komplexen Zahlen, so ergibt sich, dass die Wurzel von   holomorph für   ist, man kann also schreiben:

 

mit zwei holomorphen Funktionen   und  .

Algebraisch entspricht das der Isomorphie von vervollständigten lokalen Ringen.

Literatur

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