Nielsen-Transformation

In der Mathematik sind Nielsen-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie, sie sind nach dem Mathematiker Jakob Nielsen benannt.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus $G$. Eine elementare Nielsen-Transformation ist eine der folgenden drei Typen von Ersetzungen:

• Für ein $i\in \left\{1,\ldots ,n\right\}$ ersetze $g_{i}$ durch $g_{i}^{-1}$.
• Für zwei $i\not =j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}$ vertausche $g_{i}$ und $g_{j}$.
• Für zwei $i\not =j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}$ ersetze $g_{i}$ durch $g_{i}g_{j}$.

Eine Nielsen-Transformation ist eine Folge endlich vieler elementarer Nielsen-Transformationen. Zwei geordnete Tupel heißen Nielsen-äquivalent, wenn sie durch eine Nielsen-Transformation auseinander hervorgehen.

Anwendungen

Erzeugendensysteme freier Gruppen

Sei $F_{n}$ die freie Gruppe mit $n$ Erzeugern $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem $n$ Elemente und ein $n$-Tupel $g_{1},\ldots ,g_{n}$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von $F_{n}$, wenn die geordneten Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ Nielsen-äquivalent sind.

Erzeugendensysteme von Flächengruppen

Sei $\pi _{1}S_{g}=\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[a_{i},b_{i}\right]=1\rangle$ die Flächengruppe vom Geschlecht $g$. Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem $2g$ Elemente und ein $2g$-Tupel $h_{1},\ldots ,h_{2g}$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von $\pi _{1}S_{g}$, wenn die geordneten Tupel $(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g})$ und $(h_{1},\ldots ,h_{2g})$ Nielsen-äquivalent sind.