Der Nijenhuis-Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Das Tensorfeld ist benannt nach dem Mathematiker Albert Nijenhuis.[1] Aufgrund des Satzes von Newlander-Nirenberg kann man mit Hilfe des Nijenhuis-Tensors entscheiden, ob auf einer Mannigfaltigkeit mit fastkomplexer Struktur eine komplexe Struktur existiert, die die fastkomplexe induziert.

Definition

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Sei   ein Tensorfeld vom Rang (1,1) auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit  , das heißt man hat zu jedem   eine (glatt vom Basispunkt abhängende) lineare Abbildung  . Der Nijenhuis-Tensor ist dann das durch

 

(für Vektorfelder  ) definierte Tensorfeld vom Rang (1,2). Die eckigen Klammern bezeichnen hier die Lie-Klammer von Vektorfeldern also die Lie-Ableitung.

Satz von Newlander-Nirenberg

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Eine fastkomplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit   ist eine glatte Abbildung   mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung   auf den Tangentialraum zu jedem Punkt   eine bijektive lineare Abbildung ist, die   erfüllt.

Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist automatisch auch eine fastkomplexe. Durch die komplexe Struktur werden die Tangentialräume zu komplexen Vektorräumen und dadurch wird eine fastkomplexe Struktur definiert. Umgekehrt braucht eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit im Allgemeinen keine komplexe Struktur zu besitzen. Falls es aber einen Atlas gibt mit Karten, deren Zielbereich ein komplexer Vektorraum ist und die im Sinne der fastkomplexen Struktur holomorph sind, dann ist dieser Atlas ein komplexer Atlas, der die fastkomplexe Struktur induziert. Man kann deshalb komplexe Mannigfaltigkeiten auch definieren als fastkomplexe Mannigfaltigkeiten, die einen holomorphen Atlas besitzen. In diesem Fall heißt die fastkomplexe Struktur integrabel.

Satz von Newlander-Nirenberg: Eine fastkomplexe Struktur   ist genau dann integrierbar, wenn ihr Nijenhuis-Tensor verschwindet.

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Beispiel

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Auf einer 2-dimensionalen Mannigfaltigkeit   ist jede fastkomplexe Struktur   integrierbar.

Beweis: Um das Verschwinden des Nijenhuis-Tensors in beliebigen Punkten   zu überprüfen, genügt es wegen  , das Verschwinden des Nijenhuis-Tensors für zwei Basisvektoren von   zu prüfen. Als Basis kann man   und   für ein   wählen. Einsetzen in den Nijenhuis-Tensor gibt

 

Einzelnachweise

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  1. Kentaro Yano: Notes on My Mathematical Works. In: M. Obata (Hrsg.): Selected Papers of Kentaro Yano. Elsevier Science Ltd, 1982, ISBN 978-0-444-86495-6, S. XVIII.