Normalisator

Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Definition

Es seien $G$ eine Gruppe und $U$ eine nichtleere Teilmenge von $G$. Der Normalisator von $U$ in $G$ ist definiert als

$N_{G}(U):=\left\{g\in G\mid gUg^{-1}=U\right\}$.

Dabei ist $gUg^{-1}=\left\{gug^{-1}\mid u\in U\right\}$, entsprechend der Definition des Komplexproduktes.

Mit anderen Worten: Der Normalisator $N_{G}(U)$ besteht aus denjenigen $g\in G$, für die gilt, dass $U$ unter Konjugation mit $g$ invariant ist. (Man sagt, dass diese Elemente $U$ normalisieren.)

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass $U$ als Ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente $u\in U$ und $g\in N_{G}(U)$ durchaus $gug^{-1}\neq u$; es gilt aber stets $gug^{-1}\in U$.

Eigenschaften

• Der Normalisator ist eine Untergruppe von $G$.
• Der Index des Normalisators $N_{G}(U)$ liefert die Anzahl der unterschiedlichen Konjugierten $gUg^{-1}$ der Menge $U$, d. h. $|\{gUg^{-1}\mid g\in G\}|=[G:N_{G}(U)]$.
• Eine Untergruppe $U$ ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator $N_{G}(U)$. Genauer: $N_{G}(U)$ ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von $G$, in der $U$ Normalteiler ist.
• Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in $G$, wenn ihr Normalisator ganz $G$ ist.
• Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:
  Sei $G$ eine Gruppe. Man lasse $G$ auf der Potenzmenge von $G$ durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Teilmenge von $G$ gerade der Normalisator dieser Teilmenge.

Beispiel

Es sei $G$ die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl $n$. Weiter sei $U$ die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von $U$ in $G$ die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient $N_{G}(U)/U$ ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{n}$.

Verwandte Begriffe

Fordert man, dass $U$ elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators $Z_{G}(U)$. Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.