In der Mathematik ist die Nullkline ein nützliches Werkzeug zur Analyse einer nichtlinearen Differentialgleichung.

Für eine Differentialgleichung der Form

ist die -Nullkline die Menge der Punkte mit , also die Lösungsmenge der Gleichung . Die -Nullklinen für zerlegen den in verschiedene Regionen, in denen das durch die Differentialgleichung gegebene Vektorfeld jeweils in dieselbe Richtung zeigt. Häufig genügt eine Betrachtung des Verhaltens in den einzelnen Regionen bereits für ein qualitatives Verständnis des Phasenporträts.

Beispiel

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Betrachte die autonome Differentialgleichung

 
 .

Im folgenden Bild ist die vertikale Nullkline   blau und die horizontale Nullkline   rot eingezeichnet.

 

Durch Auflösen der Gleichungen   bzw.   macht man die folgenden Beobachtungen:

  • Der Punkt   ist ein Gleichgewichtspunkt, ebenso die Punkte   und  .
  • Entlang der vertikalen Nullkline   ist die horizontale Bewegung gegeben durch  . Daraus folgt, dass keine Lösungskurve diese Nullkline überqueren kann.
  • Entlang der vertikalen Nullkline   ist die horizontale Bewegung gegeben durch  . Daraus folgt, dass kreuzende Lösungskurven für   von unten nach oben und sonst von oben nach unten kreuzen müssen.
  • Entlang der horizontalen Nullkline   ist die vertikale Bewegung gegeben durch  . Die Bewegung geht für   von links nach rechts, sonst von rechts nach links. Keine Lösungskurve kann diese Nullkline überqueren.
  • Entlang der vertikalen Nullkline   ist die horizontale Bewegung gegeben durch  . Daraus folgt, dass kreuzende Lösungskurven für   von links nach rechts und für   von rechts nach links kreuzen müssen.
 

Für Startpunkte im Quadranten   ergeben sich damit nur folgende drei Möglichkeiten:

  • die Lösungskurve strebt gegen ein Gleichgewicht,
  • die Lösungskurve strebt in Region III in vertikaler Richtung gegen Unendlich, oder
  • die Lösungskurve folgt einem Zyklus Region I -> Region II -> Region III -> Region IV -> Region I usw.

Literatur

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