In der Vektoranalysis bezeichnet der Oberflächengradient einen Differentialoperator ähnlich dem Gradienten. Dabei wird der Gradient entlang einer Fläche gebildet.

Definition

Bearbeiten

Für eine Fläche   in einem Skalarfeld   wird der Oberflächengradient definiert als[1]

 .

Dabei bezeichnet   den Normaleneinheitsvektor an die Fläche. Der Oberflächengradient stellt also den gewöhnlichen Gradienten ohne den zur Fläche normalen Anteil dar. Er ist daher tangential zur Fläche. Der Oberflächengradient kann auch als orthogonale Projektion des Gradienten auf die Fläche interpretiert werden.

In der Tensoranalysis wird der Oberflächengradient oft definiert als:[2]

 

mit dem Flächenprojektionstensor  .

Man kann diesen Gradienten jedoch auch allgemeiner definieren.

Sei   ein Skalarfeld. Man wendet das tangentiale Vektorfeld   mit einem Skalarprodukt an einen beliebigen Vektor   an, dann ist der Oberflächengradient eines Skalarfeldes wie folgt definiert:[3]

 

Sei   ein räumliches Feld und sei   ein Tensorfeld 2. Stufe. Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld   in allen Punkten auf der Oberfläche und der Oberflächengradient eines räumlichen Feldes ist folgendermaßen definiert:[4]

 

Sei   ein Tensorfeld 2. Stufe und sein   ein Tensorfeld 3. Stufe. Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld   in allen Punkten auf der Oberfläche und der Oberflächengradient eines Tensorfeldes 2. Stufe ist folgendermaßen definiert:[5]

 

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. R. Shankar Subramanian, Boundary Conditions in Fluid Mechanics (PDF; 34 kB).
  2. Efstathios Michaelides, Clayton T. Crowe, John D. Schwarzkopf: Multiphase Flow Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2016, ISBN 978-1-4987-0100-6, S. 940.
  3. John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 624 ff.
  4. John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 647 ff.
  5. John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 660 ff.