Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls

nicht elementare mathematische Konstante

Die Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls ist eine nichtelementare mathematische Konstante. Sie wurde von Karl Theodor Wilhelm Weierstraß eingeführt. Das Ableitungsquadrat von der Umkehrfunktion der verallgemeinerten Weierstraßschen ℘-Funktion ist immer der Kehrwert eines ganzrationalen kubischen Polynoms, bei dem der Koeffizient des kubischen Gliedes den Wert 4 und der Koeffizient des quadratischen Gliedes den Wert 0 annimmt. Wenn bei diesem kubischen Polynom der Koeffizient des linearen Gliedes den Wert 0 und der Koeffizient des absoluten Gliedes den Wert −1 annimmt, dann hat die reelle Halbperiode den Wert der Omega-2-Konstante.

Definition

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Nach der genannten Beschreibung wird die Omega-2-Konstante auf folgende Weise definiert:

 

Im Dezimalsystem hat diese Konstante diese Nachkommastellen:

 

Eigenschaften

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Diese Konstante kann über die Gammafunktion ausgedrückt werden:

 

Ebenso kann die Omega-2-Konstante auf viele Weisen mit der eulerschen Betafunktion formuliert werden:

 
 

Sie kann auch mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art dargestellt werden:

 

Analog zum Wallisschen Produkt kann folgende Formel aufgestellt werden:

 

Die Superellipse der Relation   hat als Fläche unter dem Graph im ersten Quadranten folgenden Wert:

 

Die Superellipse der Relation   hat als Fläche unter dem Graph im ersten Quadranten folgenden Wert:

 

Als Analogon zur gaußschen Glockenkurve können folgende Integrale formuliert werden:

 
 

Bezug zur Landauschen Konstante

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Die Landausche Konstante dient zur Ermittlung der Komplexitätsgrenze des Bildbereichs holomorpher Funktionen. Sie beschreibt im Satz von Bloch die Radiusschranken und steht mit der Omega-2-Konstante in folgender Beziehung:

 
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Literatur

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  • Milton Abramowitz, I. A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 55. 10th printing 1972.
  • Eckhardt, U.: A rational approximation to Weierstrass’ ℘-function, in: Math. Comp.30 (1976), S. 818–826.
  • Steven R. Finch: Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003.
  • Gasper, G., Rahman, M.: An indefinite bibasic summation formula and some quadratic, cubic, and quartic summation and transformation formulas, Canad. J. Math.42 (1990), S. 1–27.
  • Sloane, N. J. A: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • Southard, T. H.: Approximation and table of the Weierstrass ℘-function in the equian-harmonic case for real argument, in: Math. Comp. 11(1957), S. 99–100.