Der Pachner-Zug ist ein Begriff aus der kombinatorischen Topologie, also dem Studium von Simplizialkomplexen und triangulierten Mannigfaltigkeiten innerhalb der Mathematik.

Dieser Pachner-Zug ersetzt zwei Simplizes in durch die anderen drei.

Ein Pachner-Zug ersetzt einige Simplizes in einer triangulierten -Mannigfaltigkeit durch andere Simplizes und zwar so, dass die Vereinigung aus den ersetzten und den ersetzenden Simplizes genau den Rand eines -Simplex bildet.

Die Bedeutung der Pachner-Züge ergibt sich daraus, dass je zwei unterschiedliche Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. Dies wurde 1991 von Pachner bewiesen.

Definition

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Im Folgenden bezeichne   den  -dimensionalen Standardsimplex und   seinen Rand mit der Triangulierung durch Seitenflächen.

Gegeben sei eine  -dimensionale triangulierte Mannigfaltigkeit  . Ein Pachner-Zug besteht in der Auswahl eines zu einem  -dimensionalen Unterkomplex   isomorphen Unterkomplexes   und dem Bilden der triangulierten Mannigfaltigkeit

 ,

wobei die Verklebeabbildung   die Einschränkung des gegebenen simplizialen Isomorphismus   ist.

Man erhält mittels dieser Konstruktion wieder dieselbe Mannigfaltigkeit  , aber mit einer anderen als der ursprünglichen Triangulierung.

Beispiele

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Im Fall  -dimensionaler Mannigfaltigkeiten spricht man von  - - und  - -Pachner-Zügen. Ein  - -Pachner-Zug ersetzt einen  -dimensionalen Simplex durch vier andere (oder umgekehrt), ein  - -Pachner-Zug ersetzt zwei  -dimensionale Simplizes durch drei andere (oder umgekehrt).

Satz von Pachner

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Satz von Pachner: Wenn zwei triangulierte PL-Mannigfaltigkeiten (beliebiger Dimension) PL-homöomorph sind, dann gibt es eine Folge von Pachner-Zügen, die die eine Triangulierung in die andere überführt.

Insbesondere gilt für Flächen und  -dimensionale Mannigfaltigkeiten, dass je zwei Triangulierungen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. (Dies ergibt sich aus der Eindeutigkeit der PL-Struktur für Mannigfaltigkeiten der Dimensionen   und  .)

Literatur

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  • Udo Pachner: Homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combin. 12 (1991), 129–145.
  • W. B. R. Lickorish: Simplicial moves on complexes and manifolds. Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998), 299–320 Geom. Topol. Monogr., 2, Geom. Topol. Publ., Coventry, 1999.