Pachner-Zug

Der Pachner-Zug ist ein Begriff aus der kombinatorischen Topologie, also dem Studium von Simplizialkomplexen und triangulierten Mannigfaltigkeiten innerhalb der Mathematik.

Dieser Pachner-Zug ersetzt zwei Simplizes in $\partial \Delta ^{4}$ durch die anderen drei.

Ein Pachner-Zug ersetzt einige Simplizes in einer triangulierten $n$-Mannigfaltigkeit durch andere Simplizes und zwar so, dass die Vereinigung aus den ersetzten und den ersetzenden Simplizes genau den Rand eines $(n+1)$-Simplex bildet.

Die Bedeutung der Pachner-Züge ergibt sich daraus, dass je zwei unterschiedliche Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. Dies wurde 1991 von Pachner bewiesen.

Definition

Im Folgenden bezeichne $\Delta ^{n+1}$ den $(n+1)$-dimensionalen Standardsimplex und $\partial \Delta ^{n+1}$ seinen Rand mit der Triangulierung durch Seitenflächen.

Gegeben sei eine $n$-dimensionale triangulierte Mannigfaltigkeit $M$. Ein Pachner-Zug besteht in der Auswahl eines zu einem $n$-dimensionalen Unterkomplex $C^{\prime }\subset \partial \Delta ^{n+1}$ isomorphen Unterkomplexes $C\subset M$ und dem Bilden der triangulierten Mannigfaltigkeit

$(M\setminus C)\cup _{\phi }(\partial \Delta ^{n+1}\setminus C^{\prime })$,

wobei die Verklebeabbildung $\phi \colon \partial C\to \partial C^{\prime }$ die Einschränkung des gegebenen simplizialen Isomorphismus $C\to C^{\prime }$ ist.

Man erhält mittels dieser Konstruktion wieder dieselbe Mannigfaltigkeit $M$, aber mit einer anderen als der ursprünglichen Triangulierung.

Beispiele

Im Fall $3$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten spricht man von $1$-$4$- und $2$-$3$-Pachner-Zügen. Ein $1$-$4$-Pachner-Zug ersetzt einen $3$-dimensionalen Simplex durch vier andere (oder umgekehrt), ein $2$-$3$-Pachner-Zug ersetzt zwei $3$-dimensionale Simplizes durch drei andere (oder umgekehrt).

Satz von Pachner

Satz von Pachner: Wenn zwei triangulierte PL-Mannigfaltigkeiten (beliebiger Dimension) PL-homöomorph sind, dann gibt es eine Folge von Pachner-Zügen, die die eine Triangulierung in die andere überführt.

Insbesondere gilt für Flächen und $3$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, dass je zwei Triangulierungen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. (Dies ergibt sich aus der Eindeutigkeit der PL-Struktur für Mannigfaltigkeiten der Dimensionen $2$ und $3$.)

Literatur

• Udo Pachner: Homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combin. 12 (1991), 129–145.
• W. B. R. Lickorish: Simplicial moves on complexes and manifolds. Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998), 299–320 Geom. Topol. Monogr., 2, Geom. Topol. Publ., Coventry, 1999.