Partieller Korrelationskoeffizient

Der partielle Korrelationskoeffizient kontrolliert den Einfluss einer oder mehrerer Störfaktoren.

Zwischen und besteht eine merkliche Korrelation. Betrachtet man die beiden rechten Punktwolken, so erkennt man, dass und jeweils stark mit korrelieren. Die beobachtete Korrelation zwischen und basiert nun fast ausschließlich auf diesem Effekt.

Definition

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Eine Korrelation zwischen zwei statistischen Variablen (oder Merkmalen)   und   kann unter Umständen auf den Einfluss, die eine dritte Variable   (ein Störfaktor) auf beide Variablen hat, zurückgehen. Um die Korrelation zwischen   und   zu messen, die verbleibt, wenn der Einfluss von   eliminiert ist, gibt es das Konzept der partiellen Korrelation[1][2][3] (auch Partialkorrelation genannt).

Theoretischer partieller Korrelationskoeffizient

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Für drei Zufallsvariablen   und   mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilung seien  ,   und   die paarweisen theoretischen Korrelationskoeffizienten. Dann ist

 

die theoretische partielle Korrelation der Zufallsvariablen   und   bzgl. der Zufallsvariablen   (oder mit Elimination des Effekts der Zufallsvariablen  ). Der Koeffizient   heißt auch (theoretischer) partieller Korrelationskoeffizient. Eine häufige Notation ist  .

Empirischer partieller Korrelationskoeffizient

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Für beobachtete Werte   für   von drei Variablen   und   seien  ,   und   die paarweisen empirischen Korrelationskoeffizienten. Dann ist

 

die empirische partielle Korrelation der Variablen   und   bzgl. der Variablen   (oder mit Elimination des Effekts der Variablen  ). Der Koeffizient   heißt auch (empirischer) partieller Korrelationskoeffizient. Eine häufige Notation ist  .

In Zusammenhängen, bei denen klar ist, ob ein theoretischer oder ein empirischer Koeffizient gemeint ist, wird einfach von dem partiellen Korrelationskoeffizienten gesprochen.

Partieller Korrelationskoeffizient höherer Ordnung

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Beim partielle Korrelationskoeffizient wird der Einfluss von mehr als einer Störvariable herausgerechnet.

Eigenschaften

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  • Ein partieller Korrelationskoeffizient hat Werte im Intervall  .
  • Im Fall   gilt  .
  • Im Fall   gilt  .
  • Der partielle Korrelationskoeffizient stimmt unter bestimmten Bedingungen (jedoch nicht im Allgemeinen) mit der bedingten Korrelation überein[4].

Theoretischer Hintergrund

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  • Für die Zufallsvariablen  ,   und   können die linearen Regressionen von   auf  ,
 
und von   auf  ,
 
gebildet werden. Die zugehörigen Residualvariablen (Regressionsreste)
 
 
enthalten diejenigen Anteile der Variablen   und  , die nicht durch einen linearen Zusammenhang mit   erklärt werden können. Es gilt dann
 
Diese Darstellung zeigt:
  1. Der partielle Korrelationskoeffizient ist ein gewöhnlicher Korrelationskoeffizient der Residualvariablen   und   und hat damit die Eigenschaften eines gewöhnlichen Korrelationskoeffizienten.
  2. Die Ausschaltung des Einflusses der Variablen   erfolgt durch lineare Regressionen, so dass nichtlineare Einflüsse von   nur teilweise erfasst werden oder unentdeckt bleiben.
  3. Eine Verallgemeinerung des Konzeptes auf mehrere Einflussfaktoren   ist möglich, indem die linearen Einfachregressionen auf die Variable   durch multiple lineare Regressionen auf mehrere Variablen   ersetzt werden und dann die Korrelationen der resultierenden Residualvariablen betrachtet werden.
  • Für beobachtete Werte  ,  , seien
 
 
die geschätzten Werte aus linearen Regressionen von   auf   bzw. von   auf   nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für die empirische Korrelation der Regressionsreste
 
 
gilt dann
 

Inferenzstatistischer Zusammenhang

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Im inferenzstatistischen Kontext repräsentiert die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von   die Verteilung der drei Merkmale in der Grundgesamtheit und   beschreibt die (unbekannte) partielle Korrelation in der Grundgesamtheit.

Die beobachteten Werte   für   werden als realisierte Werte von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren   für   aufgefasst, die jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilung von   besitzen.

In diesem Zusammenhang sind die aus den beobachteten Werten berechneten empirischen Korrelationskoeffizienten  ,   und   Schätzwerte für die Korrelationskoeffizienten  ,   und   und der empirische partielle Korrelationskoeffizient   ist ein Schätzwert für den unbekannten Grundgesamtheitsparamter  .

Beispiel

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In einer Firma werden zufällig Mitarbeiter ausgewählt und die Körpergröße bestimmt. Zudem muss jeder Befragte sein Einkommen angeben. Das Ergebnis der Untersuchung ist, dass Körpergröße und Einkommen positiv korrelieren, also größere Personen auch mehr verdienen. Bei einer genaueren Untersuchung stellt sich jedoch heraus, dass der Zusammenhang auf die Drittvariable Geschlecht zurückgeführt werden kann. Frauen sind im Durchschnitt kleiner als Männer, verdienen aber auch oftmals weniger. Berechnet man nun die Partialkorrelation zwischen Einkommen und Körpergröße unter Kontrolle des Geschlechts, so verschwindet der Zusammenhang. Größere Männer verdienen demnach beispielsweise nicht mehr als kleinere Männer. Dieses Beispiel ist fiktiv und der Zusammenhang in der Realität komplizierter,[5] es kann jedoch die Idee der Partialkorrelation veranschaulichen.

Zeitreihen

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Bei Zeitreihen wird die partielle Autokorrelationsfunktion   bei Verzögerung   definiert als

 

Erweiterung

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Der partielle Korrelationskoeffizient kann auch für Rangkorrelationskoeffizienten berechnet werden[6].

Einzelnachweise

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  1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, 2. Abhängigkeitsmaße für mehrere Zufallsgrößen, S. 3–4.
  2. Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 91–92.
  3. T. W. Anderson: Introduction to Multivariate Statistical Analysis. 3. Auflage. Wiley, Hoboken 2003, ISBN 978-0-471-36091-9, S. 41.
  4. Kunihiro Baba, Ritei Shibata, Masaaki Sibuya: Partial correlation and conditional correlation as measures of conditional independence. In: Australian & New Zealand Journal of Statistics. Band 46, Nr. 4, S. 657–664, doi:10.1111/j.1467-842X.2004.00360.x.
  5. Der Einfluss der Körpergröße auf Lohnhöhe und Berufswahl: Aktueller Forschungsstand und neue Ergebnisse auf Basis des Mikrozensus. (PDF; 213 kB). In: destatis.de. 2010, abgerufen am 26. November 2021.
  6. Hipel, K., McLeod, A. (1994). Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems. Niederlande: Elsevier Science. https://books.google.de/books?id=t1zG8OUbgdgC&pg=PA883 Seite 883