Das Fünfzehneck oder Pentadekagon (von altgriechisch πεντεκαίδεκα pentekaídeka , deutsch ‚fünfzehn‘ und γωνία gōnía , deutsch ‚Winkel, Ecke‘ )[ 1] geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon ). Es ist bestimmt durch fünfzehn Eckpunkte und deren fünfzehn Verbindungen namens Strecken , Seiten oder Kanten.
Regelmäßiges Fünfzehneck
Das Fünfzehneck ist darstellbar als:
konkaves Fünfzehneck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Fünfzehneck kann höchstens sieben solche Winkel haben.konvexes Fünfzehneck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Fünfzehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.Sehnenfünfzehneck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.
regelmäßiges Fünfzehneck: Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
regelmäßiges überschlagenes Fünfzehneck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen
{
n
/
k
}
{\displaystyle \left\{n/k\right\}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
Es gibt nur drei regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne. Die „Sterne“ mit den Symbolen {15/3} und {15/12} sind regelmäßige Fünfecke, {15/5} und {15/10} gleichseitige Dreiecke und {15/6} und {15/9} regelmäßige Pentagramme .
Regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne
{
15
/
2
}
,
{
15
/
13
}
{\displaystyle \left\{15/2\right\}{,}\ \left\{15/13\right\}}
{
15
/
4
}
,
{
15
/
11
}
{\displaystyle \left\{15/4\right\}{,}\ \left\{15/11\right\}}
{
15
/
7
}
,
{
15
/
8
}
{\displaystyle \left\{15/7\right\}{,}\ \left\{15/8\right\}}
Das regelmäßige Fünfzehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon , da die Anzahl seiner Seiten als Produkt paarweise voneinander verschiedener Fermatscher Primzahlen (
15
=
3
⋅
5
{\displaystyle 15=3\cdot 5}
[ 2] Fünfeck ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal .
Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks
Innenwinkel
α
=
n
−
2
n
⋅
180
∘
=
13
15
⋅
180
∘
=
156
∘
{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }\\&=156^{\circ }\end{aligned}}}
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)
μ
=
360
∘
15
μ
=
24
∘
{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\frac {360^{\circ }}{15}}\\\mu &=24^{\circ }\end{aligned}}}
Seitenlänge
a
=
R
⋅
2
⋅
sin
(
180
∘
15
)
=
2
⋅
R
⋅
sin
(
12
∘
)
=
1
4
⋅
R
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
3
−
15
)
≈
0,416
⋅
R
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{15}}\right)=2\cdot R\cdot \sin(12^{\circ })\\&={\frac {1}{4}}\cdot R\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\approx 0{,}416\cdot R\end{aligned}}}
Umkreisradius
R
=
a
2
⋅
sin
(
180
∘
15
)
=
a
2
⋅
sin
(
12
∘
)
=
1
2
⋅
a
⋅
(
5
+
2
⋅
5
+
3
)
≈
2,405
⋅
a
{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{15}}\right)}}={\frac {a}{2\cdot \sin(12^{\circ })}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}}
Inkreisradius
r
=
a
⋅
1
2
⋅
cot
(
180
∘
15
)
=
a
⋅
1
2
⋅
cot
(
12
∘
)
=
1
4
⋅
a
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
15
+
3
)
≈
2,352
⋅
a
{\displaystyle {\begin{aligned}r&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \cot \left({\frac {180^{\circ }}{15}}\right)=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \cot(12^{\circ })\\&={\frac {1}{4}}\cdot a\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}352\cdot a\end{aligned}}}
Höhe
h
=
r
+
R
≈
4,757
⋅
a
{\displaystyle {\begin{aligned}h&=r+R\approx 4{,}757\cdot a\end{aligned}}}
Flächeninhalt
A
=
15
4
⋅
a
2
⋅
cot
(
180
∘
15
)
=
15
4
⋅
a
2
⋅
cot
(
12
∘
)
=
15
8
⋅
a
2
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
15
+
3
)
≈
17,642
⋅
a
2
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {15}{4}}\cdot a^{2}\cdot \cot \left({\frac {180^{\circ }}{15}}\right)={\frac {15}{4}}\cdot a^{2}\cdot \cot(12^{\circ })\\&={\frac {15}{8}}\cdot a^{2}\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 17{,}642\cdot a^{2}\end{aligned}}}
Die allgemeine Formel für Polygone liefert:
α
=
n
−
2
n
⋅
180
∘
=
15
−
2
15
⋅
180
∘
=
13
15
⋅
180
∘
=
156
∘
{\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {15-2}{15}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }=156^{\circ }}
Dieser Wert lässt sich auch durch folgende Überlegungen herleiten:
Das Fünfzehneck lässt sich in fünfzehn Dreiecke teilen, deren Seiten jeweils eine Seite des Fünfzehnecks
a
{\displaystyle a}
360
∘
,
{\displaystyle 360^{\circ }{\text{,}}}
Zentriwinkel beträgt also
24
∘
.
{\displaystyle 24^{\circ }{\text{.}}}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
Halbierenden des Zentriwinkels ist, schließen die beiden unbekannten Winkel jeweils
180
∘
−
24
∘
2
=
78
∘
{\displaystyle {\frac {180^{\circ }-24^{\circ }}{2}}=78^{\circ }}
156
∘
{\displaystyle 156^{\circ }}
Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel
μ
{\displaystyle \mu }
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
15
{\displaystyle 15}
μ
=
360
∘
n
=
360
∘
15
=
24
∘
{\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {360^{\circ }}{15}}=24^{\circ }}
Wieder wird das Fünfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten
a
2
{\displaystyle {\frac {a}{2}}}
R
{\displaystyle R}
r
{\displaystyle r}
24
∘
2
=
12
∘
,
{\displaystyle {\frac {24^{\circ }}{2}}=12^{\circ },}
sin
(
12
∘
)
=
a
2
R
=
a
2
⋅
R
.
{\displaystyle \sin(12^{\circ })={\frac {\frac {a}{2}}{R}}={\frac {a}{2\cdot R}}.}
Aus dieser Beziehung folgt
a
=
2
⋅
R
⋅
sin
(
12
∘
)
≈
0,416
⋅
R
.
{\displaystyle a=2\cdot R\cdot \sin(12^{\circ })\approx 0{,}416\cdot R.}
Löst man nach
R
{\displaystyle R}
R
=
a
2
⋅
sin
(
12
∘
)
≈
2,405
⋅
a
.
{\displaystyle R={\frac {a}{2\cdot \sin(12^{\circ })}}\approx 2{,}405\cdot a.}
Algebraische Ausdrücke für
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
Berechnung der Seitenlänge und Berechnung des Umkreisradius .
Auch der Inkreisradius
r
{\displaystyle r}
tan
(
12
∘
)
=
a
2
r
=
a
2
⋅
r
{\displaystyle \tan \left(12^{\circ }\right)={\frac {\frac {a}{2}}{r}}={\frac {a}{2\cdot r}}}
Durch Multiplikation mit
2
⋅
r
{\displaystyle 2\cdot r}
2
⋅
r
⋅
tan
(
12
∘
)
=
a
{\displaystyle 2\cdot r\cdot \tan \left(12^{\circ }\right)=a}
und weiter
r
=
a
2
⋅
tan
(
12
∘
)
{\displaystyle r={\frac {a}{2\cdot \tan \left(12^{\circ }\right)}}}
wegen
1
tan
(
12
∘
)
=
cot
(
12
∘
)
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \left(12^{\circ }\right)}}=\cot \left(12^{\circ }\right)}
gilt auch
r
=
a
⋅
1
2
⋅
cot
(
12
∘
)
.
{\displaystyle r=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \cot \left(12^{\circ }\right).}
Algebraische Ausdrücke für
cot
(
12
∘
)
{\displaystyle \cot \left(12^{\circ }\right)}
r
{\displaystyle r}
Berechnung des Inkreisradius .
Die Höhe h eines regelmäßigen Fünfzehneckes ist die Summe aus In- und Umkreisradius, da die Verlängerung der Höhe eines Teilstückes über den Mittelpunkt des Fünfzehnecks hinaus auf einen Eckpunkt trifft.
h
=
R
+
r
=
a
2
⋅
sin
(
12
∘
)
+
a
2
⋅
tan
(
12
∘
)
≈
4,757
⋅
a
{\displaystyle h=R+r={\frac {a}{2\cdot \sin(12^{\circ })}}+{\frac {a}{2\cdot \tan(12^{\circ })}}\approx 4{,}757\cdot a}
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich zu
A
Δ
=
1
2
⋅
a
⋅
h
a
{\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h_{a}}
h
a
{\displaystyle h_{a}}
r
{\displaystyle r}
A
=
15
2
⋅
a
⋅
r
.
{\displaystyle A={\frac {15}{2}}\cdot a\cdot r.}
Zusammen mit dem in Berechnung des Inkreisradius hergeleiteten Ausdruck für
r
{\displaystyle r}
A
=
15
2
⋅
a
⋅
1
4
⋅
a
⋅
(
10
+
2
5
+
15
+
3
)
=
15
8
⋅
a
2
⋅
(
10
+
2
5
+
15
+
3
)
≈
17,642
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {15}{2}}\cdot a\cdot {\frac {1}{4}}\cdot a\cdot \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)={\frac {15}{8}}\cdot a^{2}\cdot \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 17{,}642\cdot a^{2}}
Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis
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In der hier dargestellten Konstruktion werden ein gleichseitiges Dreieck
B
E
1
E
6
{\displaystyle BE_{1}E_{6}}
Fünfecks
B
E
14
E
2
E
5
E
8
{\displaystyle BE_{14}E_{2}E_{5}E_{8}}
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
Euklid in seinem Werk Elemente (Die Stoicheia) im IV Buch; die Konstruktionsdetails des Dreiecks und Fünfecks weichen jedoch von seiner Konstruktion ab.[ 3] Johannes Kepler [ 4]
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
A
{\displaystyle A}
B
.
{\displaystyle B{\text{.}}}
Ist ein Kreis
k
1
{\displaystyle k_{1}}
M
{\displaystyle M}
Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit
k
1
{\displaystyle k_{1}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Konstruktion eines Radius, der orthogonal zu
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
C
{\displaystyle C}
Konstruktion eines Kreisbogens um
A
{\displaystyle A}
A
M
¯
{\displaystyle {\overline {AM}}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
6
{\displaystyle E_{6}}
Zeichnen von
E
1
E
6
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{6}}}}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
F
{\displaystyle F}
Zeichnen eines Kreisbogens um
F
{\displaystyle F}
F
C
¯
{\displaystyle {\overline {FC}}}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
G
{\displaystyle G}
viermaliges Abtragen der Strecke
C
G
¯
{\displaystyle {\overline {CG}}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
B
{\displaystyle B}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
E
14
{\displaystyle E_{14}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
E
5
{\displaystyle E_{5}}
E
8
{\displaystyle E_{8}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
achtmaliges Abtragen der Sehne
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
E
3
{\displaystyle E_{3}}
E
4
{\displaystyle E_{4}}
E
7
{\displaystyle E_{7}}
E
9
{\displaystyle E_{9}}
E
10
{\displaystyle E_{10}}
E
12
{\displaystyle E_{12}}
E
13
{\displaystyle E_{13}}
E
15
{\displaystyle E_{15}}
Verbinden der so gefundenen Punkte. Die in obiger Tabelle angegebene Formel
a
=
1
4
⋅
R
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle a={\frac {1}{4}}\cdot R\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)}
(
1
)
{\displaystyle {\mathsf {(1)}}}
Gleichseitiges Dreieck
A
M
E
1
{\displaystyle AME_{1}}
(
1.1
)
M
E
1
¯
=
R
{\displaystyle {\mathsf {(1.1)}}\;{\overline {ME_{1}}}=R}
(
1.2
)
A
M
¯
=
M
E
1
¯
=
A
E
1
¯
=
R
{\displaystyle {\mathsf {(1.2)}}\;{\overline {AM}}={\overline {ME_{1}}}={\overline {AE_{1}}}=R}
(
1.3
)
F
M
¯
=
1
2
⋅
R
{\displaystyle {\mathsf {(1.3)}}\;{\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R}
(
2
)
{\displaystyle {\mathsf {(2)}}}
Rechtwinkliges Dreieck
F
M
E
1
{\displaystyle \;FME_{1}}
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras :
M
E
1
¯
2
=
F
M
¯
2
+
F
E
1
¯
2
{\displaystyle {\overline {ME_{1}}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {FE_{1}}}^{2}}
(
2.1
)
F
E
1
¯
=
M
E
1
¯
2
−
F
M
¯
2
=
R
2
−
(
1
2
⋅
R
)
2
=
R
2
−
1
4
⋅
R
2
=
3
4
⋅
R
2
=
R
⋅
3
4
=
R
⋅
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}(2.1)\;{\overline {FE_{1}}}&={\sqrt {{\overline {ME_{1}}}^{2}-{\overline {FM}}^{2}}}={\sqrt {R^{2}-\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}}}={\sqrt {R^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot R^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{4}}\cdot R^{2}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}
(
3
)
{\displaystyle {\mathsf {(3)}}}
F
M
C
{\displaystyle FMC}
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:
F
C
¯
2
=
F
M
¯
2
+
M
C
¯
2
{\displaystyle {\overline {FC}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {MC}}^{2}}
(
3.1
)
F
C
¯
=
F
M
¯
2
+
M
C
¯
2
=
(
1
2
⋅
R
)
2
+
R
2
=
5
4
⋅
R
2
=
R
⋅
5
2
{\displaystyle {\mathsf {(3.1)}}\;{\overline {FC}}={\sqrt {{{\overline {FM}}^{2}}+{{\overline {MC}}^{2}}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}+R^{2}}}={\sqrt {{\frac {5}{4}}\cdot R^{2}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}}
(
3.2
)
F
G
¯
=
F
C
¯
=
R
⋅
5
2
{\displaystyle {\mathsf {(3.2)}}\;{\overline {FG}}={\overline {FC}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}\;}
(
4
)
{\displaystyle {\mathsf {(4)}}}
A
B
E
2
{\displaystyle ABE_{2}}
∠
A
B
E
2
{\displaystyle \angle ABE_{2}}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
B
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {BE_{2}}}}
β
{\displaystyle \beta }
(
4.1
)
M
G
¯
=
F
G
¯
−
F
M
¯
=
R
⋅
5
2
−
1
2
⋅
R
=
R
⋅
5
−
1
2
{\displaystyle {\mathsf {(4.1)}}\;{\overline {MG}}={\overline {FG}}-{\overline {FM}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot R=R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}
(
4.2
)
A
E
2
¯
=
M
G
¯
=
R
⋅
5
−
1
2
{\displaystyle {\mathsf {(4.2)}}\;{\overline {AE_{2}}}={\overline {MG}}=R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\;}
Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck
A
B
E
2
{\displaystyle ABE_{2}}
A
B
¯
2
=
A
E
2
¯
2
+
B
E
2
¯
2
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {AE_{2}}}^{2}+{\overline {BE_{2}}}^{2}}
(
4.3
)
B
E
2
¯
=
A
B
¯
2
−
A
E
2
¯
2
=
(
2
⋅
R
)
2
−
(
R
⋅
5
−
1
2
)
2
=
4
⋅
R
2
−
R
2
⋅
(
5
−
1
)
2
4
=
R
⋅
4
−
(
5
−
1
)
2
4
=
R
⋅
16
4
−
(
5
−
2
⋅
5
+
1
)
4
=
R
⋅
10
+
2
⋅
5
4
=
R
⋅
1
4
⋅
(
10
+
2
⋅
5
)
=
R
⋅
1
2
⋅
2
⋅
(
5
+
5
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(4.3)}}\;{\overline {BE_{2}}}&={\sqrt {{\overline {AB}}^{2}-{\overline {AE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {{(2\cdot R)}^{2}-\left({R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}\right)^{2}}}={\sqrt {4\cdot R^{2}-{R^{2}}\cdot {\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}\\&=R\cdot {\sqrt {4-{\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {16}{4}}-{\frac {\left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {10+2\cdot {\sqrt {5}}}{4}}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot \left(10+2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\end{aligned}}}
(
4.4
)
sin
(
β
)
=
A
E
2
¯
A
B
¯
=
R
⋅
1
2
⋅
(
5
−
1
)
2
⋅
R
=
1
4
⋅
(
5
−
1
)
=
sin
(
18
∘
)
⇒
∠
A
B
E
2
=
β
=
18
∘
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(4.4)}}\;\sin \left(\beta \right)&={\frac {\overline {AE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)}{2\cdot R}}={\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\;=\sin \left(18^{\circ }\right)\\&\Rightarrow \angle \;ABE_{2}=\beta =18^{\circ }\end{aligned}}}
(
4.5
)
cos
(
β
)
=
B
E
2
¯
A
B
¯
=
R
⋅
1
2
⋅
2
⋅
(
5
+
5
)
2
⋅
R
=
1
4
⋅
2
⋅
(
5
+
5
)
=
cos
(
18
∘
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(4.5)}}\;\cos \left(\beta \right)&={\frac {\overline {BE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}{2\cdot R}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\;=\cos \left(18^{\circ }\right)\end{aligned}}}
(
5
)
{\displaystyle {\mathsf {(5)}}}
Gleichschenkliges Dreieck
E
1
E
2
M
{\displaystyle E_{1}E_{2}M}
(
5.1
)
E
1
E
2
¯
=
a
{\displaystyle {\mathsf {(5.1)}}\;{\overline {E_{1}E_{2}}}=a}
(
5.2
)
∠
H
M
E
2
=
1
2
⋅
μ
=
12
∘
{\displaystyle {\mathsf {(5.2)}}\;\angle {HME_{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mu =12^{\circ }}
(
5.3
)
sin
(
18
∘
)
=
1
4
⋅
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\mathsf {(5.3)}}\sin \left(18^{\circ }\right)={\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)}
(
5.4
)
cos
(
18
∘
)
=
1
4
⋅
2
⋅
(
5
+
5
)
{\displaystyle {\mathsf {(5.4)}}\cos \left(18^{\circ }\right)={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}
Zur Berechnung der Seitenlänge benötigt man den Wert von
sin
(
12
∘
)
{\displaystyle \sin(12^{\circ })}
Additionstheoreme berechnen lässt:
(
6
)
sin
(
12
∘
)
=
sin
(
30
∘
−
18
∘
)
=
sin
(
30
∘
)
⋅
cos
(
18
∘
)
−
cos
(
30
∘
)
⋅
sin
(
18
∘
)
=
1
2
⋅
1
4
⋅
2
⋅
(
5
+
5
)
−
1
2
⋅
3
⋅
1
4
⋅
(
5
−
1
)
=
1
8
(
10
+
2
⋅
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(6)}}\;\sin(12^{\circ })&=\sin(30^{\circ }-18^{\circ })\\&=\sin(30^{\circ })\cdot \cos \left(18^{\circ }\right)-\cos \left(30^{\circ }\right)\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\end{aligned}}}
Damit ergibt sich für die Seitenlänge:
(
7
)
a
=
2
⋅
R
⋅
sin
(
12
∘
)
=
2
⋅
R
⋅
1
8
(
10
+
2
⋅
5
+
3
−
15
)
=
1
4
⋅
R
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(7)}}\;a&=2\cdot R\cdot \sin \left(12^{\circ }\right)\\&=2\cdot R\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot R\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\end{aligned}}}
Die in obiger Tabelle angegebene Formel
r
=
1
4
⋅
a
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
15
+
3
)
{\displaystyle r={\frac {1}{4}}\cdot a\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)}
(
1
)
{\displaystyle {\mathsf {(1)}}}
Rechtwinkliges Dreieck
M
H
E
2
{\displaystyle MHE_{2}}
(
1.1
)
M
H
¯
=
r
=
a
⋅
1
2
⋅
cot
(
12
∘
)
{\displaystyle {\mathsf {(1.1)}}\;{\overline {MH}}=r=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \cot \left(12^{\circ }\right)}
Mathematische Zusammenhänge, Inkreisradius
(
1.2
)
∠
H
M
E
2
=
1
2
⋅
μ
=
12
∘
{\displaystyle {\mathsf {(1.2)}}\;\angle {HME_{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mu =12^{\circ }}
(
1.3
)
sin
(
12
∘
)
=
1
8
(
10
+
2
⋅
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle {\mathsf {(1.3)}}\sin \left(12^{\circ }\right)={\frac {1}{8}}\left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)}
Berechnung der Seitenlänge (6.1) Zur Berechnung des Inkreisradius benötigt man für den Term
cot
(
12
∘
)
=
cos
(
12
∘
)
sin
(
12
∘
)
{\displaystyle \cot(12^{\circ })={\frac {\cos(12^{\circ })}{\sin(12^{\circ })}}}
cos
(
12
∘
)
,
{\displaystyle \cos(12^{\circ }),}
(
2
)
cos
(
12
∘
)
=
cos
(
30
∘
−
18
∘
)
=
cos
(
30
∘
)
⋅
cos
(
18
∘
)
+
sin
(
30
∘
)
⋅
sin
(
18
∘
)
=
1
2
⋅
3
⋅
1
4
⋅
2
⋅
(
5
+
5
)
+
1
2
⋅
1
4
⋅
(
5
−
1
)
=
1
8
⋅
(
3
(
10
+
2
⋅
5
)
)
+
1
8
⋅
(
5
−
1
)
=
1
8
⋅
(
30
+
6
5
+
5
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(2)}}\;\cos(12^{\circ })&=\cos(30^{\circ }-18^{\circ })\\&=\cos(30^{\circ })\cdot \cos \left(18^{\circ }\right)+\sin \left(30^{\circ }\right)\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {3}}\left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}\right)\right)+{\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1\right)\end{aligned}}}
Die folgende hergeleitete Beziehung lässt sich zur Umformung von Rechenausdrücken verwenden.
(
3
)
10
+
2
5
=
(
5
−
1
)
5
+
2
5
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(3)}}\;{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}&=({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\end{aligned}}}
(
3.1
)
(
5
−
1
)
5
+
2
5
=
(
5
−
1
)
2
(
5
+
2
5
)
=
(
5
−
2
5
+
1
)
(
5
+
2
5
)
=
(
6
−
2
5
)
(
5
+
2
5
)
=
30
+
12
5
−
10
5
−
20
=
10
+
2
5
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(3.1)}}\;({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}&={\sqrt {({\sqrt {5}}-1)^{2}\,(5+2{\sqrt {5}})}}\\&={\sqrt {(5-2{\sqrt {5}}+1)\,(5+2{\sqrt {5}})}}\\&={\sqrt {(6-2{\sqrt {5}})\,(5+2{\sqrt {5}})}}\\&={\sqrt {30+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {5}}-20}}\\&={\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\end{aligned}}}
(
4
)
sin
(
12
∘
)
=
1
8
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
(aus (1.3))
=
1
8
(
(
5
−
1
)
5
+
2
5
−
3
(
5
−
1
)
)
(nach (3))
=
1
8
(
5
−
1
)
(
5
+
2
5
−
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(4)}}\;\sin \left(12^{\circ }\right)&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\qquad {\mbox{(aus (1.3))}}\\&={\frac {1}{8}}\,\left(({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\,({\sqrt {5}}-1)\right)\qquad {\mbox{(nach (3))}}\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)\\\end{aligned}}}
(
5
)
cos
(
12
∘
)
=
1
8
(
30
+
6
5
+
5
−
1
)
(aus (2))
=
1
8
(
3
10
+
2
5
+
5
−
1
)
=
1
8
(
3
(
5
−
1
)
5
+
2
5
+
(
5
−
1
)
)
(nach (3))
=
1
8
(
5
−
1
)
(
3
5
+
2
5
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(5)}}\;\cos \left(12^{\circ }\right)&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1\right)\qquad {\mbox{(aus (2))}}\\&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {3}}\,({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)\right)\qquad {\mbox{(nach (3))}}\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1\right)\\\end{aligned}}}
Zur abschließenden Berechnung des Inkreisradius wird nun der Wert von
cot
(
12
∘
)
{\displaystyle \cot \left(12^{\circ }\right)}
(
6
)
cot
(
12
∘
)
=
cos
(
12
∘
)
sin
(
12
∘
)
=
1
8
(
5
−
1
)
(
15
+
6
5
+
1
)
1
8
(
5
−
1
)
(
5
+
2
5
−
3
)
=
15
+
6
5
+
1
5
+
2
5
−
3
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(6)}}\;\cot \left(12^{\circ }\right)&={\frac {\cos \left(12^{\circ }\right)}{\sin \left(12^{\circ }\right)}}\\&={\frac {{\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1\right)}{{\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)}}\\&={\frac {{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1}{{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}
Aus Gründen der besseren Übersicht sind acht dazwischenliegende Berechnungsschritte nur im Bearbeitungsmodus sichtbar!
cot
(
12
∘
)
=
2
15
+
2
3
+
2
5
+
2
5
(
5
−
1
)
4
=
15
+
3
+
10
+
2
5
2
(nach (3))
=
1
2
(
10
+
2
5
+
15
+
3
)
{\displaystyle \;{\begin{aligned}\cot \left(12^{\circ }\right)&={\frac {2{\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {5}}-1)}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\qquad {\mbox{(nach (3))}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}
Damit ergibt sich für den Inkreisradius
r
{\displaystyle r}
(
7
)
r
=
a
⋅
1
2
⋅
cot
(
12
∘
)
=
a
⋅
1
2
⋅
1
2
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
15
+
3
)
=
1
4
⋅
a
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
15
+
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(7)}}\;r&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \cot \left(12^{\circ }\right)\\&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot a\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\\\end{aligned}}}
Bearbeiten
Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Fünfecks bei gegebener Seitenlänge , auch darin gelingt die Darstellung mittels Verlängerung der Seite und einer damit generierten Strecke, hier
F
E
2
¯
,
{\displaystyle {\overline {FE_{2}}}{\text{,}}}
Goldenen Schnitt, äußere Teilung geteilt ist.
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
.
{\displaystyle E_{2}{\text{.}}}
Ist eine Seite eines Fünfzehnecks gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:
Bezeichnen der Streckenenden mit
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
Verlängern der Strecke
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
Zeichnen eines Kreisbogens um
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
Konstruktion einer Senkrechten zur Strecke
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
A
{\displaystyle A}
Zeichnen eines Kreisbogens um
E
2
{\displaystyle E_{2}}
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
Zeichnen einer geraden Linie ab
C
{\displaystyle C}
B
{\displaystyle B}
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
D
{\displaystyle D}
Zeichnen eines Kreisbogens um
D
{\displaystyle D}
D
A
¯
{\displaystyle {\overline {DA}}}
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
F
{\displaystyle F}
Zeichnen eines Kreisbogens um
E
2
{\displaystyle E_{2}}
E
2
F
¯
{\displaystyle {\overline {E_{2}F}}}
C
{\displaystyle C}
B
{\displaystyle B}
G
{\displaystyle G}
Zeichnen eines kurzen Kreisbogens um
E
2
{\displaystyle E_{2}}
C
G
¯
{\displaystyle {\overline {CG}}}
C
B
¯
{\displaystyle {\overline {CB}}}
M
{\displaystyle M}
Zeichnen des Umkreises
k
1
{\displaystyle k_{1}}
M
{\displaystyle M}
M
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {ME_{2}}}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
E
3
{\displaystyle E_{3}}
elfmaliges Abtragen der Sehne
E
1
E
2
¯
{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
E
3
,
…
,
15
{\displaystyle E_{3,\dotsc ,15}}
Verbinden der so gefundenen Eckpunkte. Die in obiger Tabelle angegebene Formel
R
=
a
⋅
1
2
⋅
(
5
+
2
⋅
5
+
3
)
{\displaystyle R=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)}
(
1
)
E
1
E
2
¯
=
E
1
A
¯
=
C
E
2
¯
=
a
{\displaystyle {\mathsf {(1)}}\;{\overline {E_{1}E_{2}}}={\overline {E_{1}A}}={\overline {CE_{2}}}=a}
(
2
)
D
E
1
¯
=
D
E
2
¯
=
1
2
⋅
a
{\displaystyle {\mathsf {(2)}}\;{\overline {DE_{1}}}={\overline {DE_{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot a}
(
3
)
{\displaystyle {\mathsf {(3)}}}
A
E
1
D
{\displaystyle AE_{1}D}
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:
D
A
¯
2
=
E
1
A
¯
2
+
D
E
1
¯
2
{\displaystyle {\overline {DA}}^{2}={\overline {E_{1}A}}^{2}+{\overline {DE_{1}}}^{2}}
(
3.1
)
D
A
¯
=
E
1
A
¯
2
+
D
E
1
¯
2
=
a
2
+
(
1
2
)
2
⋅
a
2
=
a
⋅
1
+
1
4
=
a
⋅
5
2
{\displaystyle {\mathsf {(3.1)}}\;{\overline {DA}}={\sqrt {{{\overline {E_{1}A}}^{2}}+{{\overline {DE_{1}}}^{2}}}}={\sqrt {a^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\cdot a^{2}}}=a\cdot {\sqrt {1+{\frac {1}{4}}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}}
(
3.2
)
D
F
¯
=
D
A
¯
=
a
⋅
5
2
{\displaystyle {\mathsf {(3.2)}}\;{\overline {DF}}={\overline {DA}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}}
(
4
)
E
1
F
¯
=
D
F
¯
−
D
E
1
¯
=
a
⋅
5
2
−
a
⋅
1
2
=
a
⋅
(
5
2
−
1
2
)
=
a
⋅
1
2
⋅
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\mathsf {(4)}}\;{\overline {E_{1}F}}={\overline {DF}}-{\overline {DE_{1}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-a\cdot {\frac {1}{2}}=a\cdot \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)}
(
5
)
E
2
F
¯
=
a
+
E
1
F
¯
=
a
+
a
⋅
1
2
⋅
(
5
−
1
)
=
a
⋅
(
1
+
1
2
⋅
(
5
−
1
)
)
=
a
⋅
(
1
+
5
2
−
1
2
)
=
a
⋅
(
1
2
+
5
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {(5)}}\;{\overline {E_{2}F}}&=a+{\overline {E_{1}F}}=a+a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)=a\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)\\&=a\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\end{aligned}}}
(
5.1
)
E
2
G
¯
=
E
2
F
¯
=
a
⋅
(
1
2
+
5
2
)
{\displaystyle {\mathsf {(5.1)}}\;{\overline {E_{2}G}}={\overline {E_{2}F}}=a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)}
(
6
)
{\displaystyle {\mathsf {(6)}}}
D
E
2
G
{\displaystyle DE_{2}G}
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:
E
2
G
¯
2
=
D
E
2
¯
2
+
D
G
¯
2
{\displaystyle {\overline {E_{2}G}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}}
(
6.1
)
D
G
¯
=
E
2
G
¯
2
−
D
E
2
¯
2
=
a
2
⋅
(
1
2
+
5
2
)
2
−
a
2
⋅
(
1
2
)
2
=
a
⋅
(
1
2
+
5
2
)
2
−
(
1
2
)
2
=
a
⋅
1
4
+
5
2
+
5
4
−
1
4
=
a
⋅
5
4
+
2
⋅
5
4
=
a
⋅
1
4
⋅
(
5
+
2
⋅
5
)
=
a
⋅
1
2
⋅
5
+
2
⋅
5
{\displaystyle {\begin{aligned}(6.1)\;{\overline {DG}}\;&={\sqrt {{{\overline {E_{2}G}}^{2}}-{{\overline {DE_{2}}}^{2}}}}={\sqrt {a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\\&=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {5}{4}}-{\frac {1}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot \left(5+2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}\end{aligned}}}
(
7
)
{\displaystyle {\mathsf {(7)}}}
D
C
E
2
{\displaystyle {DCE_{2}}}
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:
C
E
2
¯
2
=
D
E
2
¯
2
+
D
C
¯
2
{\displaystyle {\overline {CE_{2}}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}}
(
7.1
)
D
C
¯
=
C
E
2
¯
2
−
D
E
2
¯
2
=
a
2
−
a
2
⋅
(
1
2
)
2
=
a
⋅
(
1
−
1
4
)
=
a
⋅
3
4
=
a
⋅
3
2
{\displaystyle (7.1)\;{\overline {DC}}={\sqrt {{\overline {CE_{2}}}^{2}-{\overline {DE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {a^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left(1-{\frac {1}{4}}\right)}}=a\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
Nach Konstruktion, Schritt 9 gilt für den Umkreisradius
R
:
{\displaystyle R:}
(
8
)
R
=
E
2
M
¯
=
C
G
¯
=
D
G
¯
+
D
C
¯
=
a
⋅
1
2
⋅
(
5
+
2
⋅
5
)
+
a
⋅
3
2
=
a
⋅
1
2
⋅
(
5
+
2
⋅
5
+
3
)
≈
2,405
⋅
a
{\displaystyle {\begin{aligned}(8)\;R&={\overline {E_{2}M}}={\overline {CG}}\\&={\overline {DG}}+{\overline {DC}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}\right)+a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}}
Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlänge wird der Goldene Schnitt zur Bestimmung von Konstruktionselementen verwendet.
Teil der Konstruktionsskizze bei gegebenem Umkreis
Teil der Konstruktionsskizze bei gegebener Seitenlänge
In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis teilt der Punkt
M
{\displaystyle M}
A
G
¯
{\displaystyle {\overline {AG}}}
A
M
¯
M
G
¯
=
A
G
¯
A
M
¯
=
1
+
5
2
=
Φ
≈
1,618
.
{\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MG}}}={\frac {\overline {AG}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1{,}618{\text{.}}}
In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge wird die Seite derart verlängert, dass sie die längere Strecke des Verhältnisses ist:
E
1
E
2
¯
E
1
F
¯
=
E
2
F
¯
E
1
E
2
¯
=
1
+
5
2
=
Φ
≈
1,618
.
{\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1{,}618{\text{.}}}
↑ Wilhelm Pape , Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache . 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]). ↑ Jürgen Köller: Regelmäßiges Vieleck. Mathematische Basteleien. 2005, abgerufen am 4. Oktober 2015 . ↑ Johann Karl Friedrich Hauff: EUKLIDS ELEMENTE. DAS ERSTE BIS ZUM SECHSTEN, SAMMT DEM EILFTEN UND ZWOELFTEN BUCHE . neue academische Buchhandlung, Marburg 1807, S. 129 f . (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Johannes Kepler: WELT-HARMONIK. Internet Archive regeneriert. In: Google Books. R. OLDENBURG VERLAG 2006, übersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939, S. 401 , abgerufen am 19. Juli 2019 . 
