Eine Gerade im Raum ist definiert durch zwei verschiedene Punkte
A
=
(
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
)
⊤
∈
R
P
3
{\displaystyle A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}
B
=
(
B
0
,
B
1
,
B
2
,
B
3
)
⊤
∈
R
P
3
{\displaystyle B=\left(B_{0},B_{1},B_{2},B_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}
homogenen Koordinaten des projektiven Raums . Ihre Plücker-Matrix ist:
[
L
]
×
∝
A
B
⊤
−
B
A
⊤
=
(
0
−
L
01
−
L
02
−
L
03
L
01
0
−
L
12
−
L
13
L
02
L
12
0
−
L
23
L
03
L
13
L
23
0
)
{\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\propto \mathbf {A} \mathbf {B} ^{\top }-\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\top }=\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)}
Wobei die schiefsymmetrische
4
×
4
{\displaystyle 4\times 4}
Matrix durch die 6 Plücker-Koordinaten
L
∝
(
L
01
,
L
02
,
L
03
,
L
12
,
L
13
,
L
23
)
⊤
{\displaystyle \mathbf {L} \propto (L_{01},L_{02},L_{03},L_{12},L_{13},L_{23})^{\top }}
mit
L
i
j
=
A
i
B
j
−
B
i
A
j
{\displaystyle L_{ij}=A_{i}B_{j}-B_{i}A_{j}}
beschrieben ist. Die Plücker-Koordinaten erfüllen die Graßmann-Plücker-Relation
L
01
L
23
−
L
02
L
13
+
L
03
L
12
=
0
{\displaystyle L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}=0}
und sind bis auf skalare Vielfache definiert. Jede Plücker-Matrix besitzt lediglich Rang 2 und vier Freiheitsgrade (wie jede Gerade in
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Kreuzprodukts für sowohl den Schnitt zweier Geraden, als auch der Verbindungsgeraden durch zwei Punkte in der projektiven Ebene.
Die Plücker-Matrix erlaubt es folgende geometrische Operationen im Matrix-Vektor-Produkt auszudrücken:
Ebene enthält Gerade:
0
=
[
L
]
×
E
{\displaystyle \mathbf {0} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }
X
=
[
L
]
×
E
{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
Punkt liegt auf Gerade:
0
=
[
L
~
]
×
X
{\displaystyle \mathbf {0} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }
E
=
[
L
~
]
×
X
{\displaystyle \mathbf {E} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
Richtung einer Geraden:
[
L
]
×
π
∞
=
[
L
]
×
(
0
,
0
,
0
,
1
)
⊤
=
(
−
L
03
,
−
L
13
,
−
L
23
,
0
)
⊤
{\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }=[\mathbf {L} ]_{\times }(0,0,0,1)^{\top }=(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0)^{\top }}
Punkt der am dichtesten am Koordinatenursprung liegt:
X
0
≅
[
L
]
×
[
L
]
×
π
∞
.
{\displaystyle \mathbf {X} _{0}\cong [\mathbf {L} ]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }.}
Der Schnittpunkt einer Geraden im Raum L mit einer Ebene E als Multiplikation mit der Plücker-Matrix Es sei
E
=
(
E
0
,
E
1
,
E
2
,
E
3
)
⊤
∈
R
P
3
{\displaystyle \mathbf {E} =(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3})^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}
E
0
x
+
E
1
y
+
E
2
z
+
E
3
=
0.
{\displaystyle E_{0}x+E_{1}y+E_{2}z+E_{3}=0.}
die die Gerade
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
X
=
[
L
]
×
E
=
A
B
⊤
E
⏟
α
−
B
A
⊤
E
⏟
β
=
A
α
+
B
β
,
{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} =\mathbf {A} {\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-\mathbf {B} {\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta ,}
der auf der Geraden
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
⊤
X
=
E
⊤
[
L
]
×
E
=
E
⊤
A
⏟
α
B
⊤
E
⏟
β
−
E
⊤
B
⏟
β
A
⊤
E
⏟
α
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {E} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {E} ^{\top }[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} ={\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {A} } }}{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {B} } }}{\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=0,}
und muss daher der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene sein.
Des Weiteren gilt, dass das Produkt der Plücker-Matrix mit einer Ebene genau dann den Nullvektor ergibt, wenn die Gerade
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
α
=
β
=
0
⟺
E
{\displaystyle \alpha =\beta =0\iff \mathbf {E} }
L
.
{\displaystyle \mathbf {L} .}
Die gemeinsame Ebene G eines Punktes X mit einer Geraden im Raum L als Multiplikation mit der dualen Plücker-Matrix Im realen projektiven Raum haben Punkte und Ebenen die gleiche Darstellung als homogene 4-Vektoren und die algebraische Beschreibung ihrer Beziehung (Punkt liegt auf Ebene) ist symmetrisch. Durch Vertauschen der Bedeutung von Punkten und Ebenen einer Aussage erhält man daher eine duale Aussage, die ebenfalls wahr ist.
Im Fall der Plücker-Matrix, existiert die duale Darstellung einer Geraden im Raum als Schnitt zweier Ebenen
E
=
(
E
0
,
E
1
,
E
2
,
E
3
)
⊤
∈
R
P
3
{\displaystyle E=\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}
und
F
=
(
F
0
,
F
1
,
F
2
,
F
3
)
⊤
∈
R
P
3
{\displaystyle F=\left(F_{0},F_{1},F_{2},F_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}
in homogenen Koordinaten des projektiven Raums . Ihre Plücker-Matrix ist:
[
L
~
]
×
=
E
F
⊤
−
F
E
⊤
{\displaystyle [{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\mathbf {E} \mathbf {F} ^{\top }-\mathbf {F} \mathbf {E} ^{\top }}
und
G
=
[
L
~
]
×
X
{\displaystyle \mathbf {G} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }
beschreibt eine Ebene
G
{\displaystyle \mathbf {G} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
Bearbeiten
Wenn also der Vektor
X
=
[
L
]
×
E
{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
∀
E
∈
R
P
3
:
X
=
[
L
]
×
E
lies on
L
⟺
[
L
~
]
×
X
=
0
.
{\displaystyle \forall \mathbf {E} \in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}:\,\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} {\text{ lies on }}\mathbf {L} \iff [{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} =\mathbf {0} .}
Also:
(
[
L
~
]
×
[
L
]
×
)
⊤
=
[
L
]
×
[
L
~
]
×
=
0
∈
R
4
×
4
.
{\displaystyle \left([{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\right)^{\top }=[\mathbf {L} ]_{\times }[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.}
Folgendes Produkt erfüllt diese Eigenschaften:
(
0
L
23
−
L
13
L
12
−
L
23
0
L
03
−
L
02
L
13
−
L
03
0
L
01
−
L
12
L
02
−
L
01
0
)
(
0
−
L
01
−
L
02
−
L
03
L
01
0
−
L
12
−
L
13
L
02
L
12
0
−
L
23
L
03
L
13
L
23
0
)
=
(
L
01
L
23
−
L
02
L
13
+
L
03
L
12
)
⋅
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
=
0
,
{\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}0&L_{23}&-L_{13}&L_{12}\\-L_{23}&0&L_{03}&-L_{02}\\L_{13}&-L_{03}&0&L_{01}\\-L_{12}&L_{02}&-L_{01}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)=\left(L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=\mathbf {0} ,}
aufgrund der Graßmann-Plücker-Relation . Mit der Eindeutigkeit der Plücker-Matrix bis auf skalare Vielfache ergeben sich für die primalen Plücker-Koordinaten
L
=
(
L
01
,
L
02
,
L
03
,
L
12
,
L
31
,
L
23
)
⊤
{\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{01},\,L_{02},\,L_{03},\,L_{12},\,L_{31},\,L_{23}\right)^{\top }}
folgende duale Koordinaten:
L
~
=
(
L
23
,
−
L
13
,
L
12
,
L
03
,
−
L
02
,
L
01
)
⊤
.
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {L} }}=\left(L_{23},\,-L_{13},\,L_{12},\,L_{03},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }.}
Der 'join’ zweier Punkte in der projektiven Ebene ist die Operation zwei Punkte durch eine Gerade zu verbinden. Die Geradengleichung kann man durch das Kreuzprodukt bestimmen:
l
∝
a
×
b
=
(
a
1
b
2
−
b
1
a
2
b
0
a
2
−
a
0
b
2
a
0
b
1
−
a
1
b
0
)
=
(
l
0
l
1
l
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {l} \propto \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\\b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}\\a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}l_{0}\\l_{1}\\l_{2}\end{array}}\right).}
Dual dazu kann man den 'meet’, also Schnittpunkt zweier Geraden durch das Kreuzprodukt ausdrücken:
x
∝
l
×
m
{\displaystyle \mathbf {x} \propto \mathbf {l} \times \mathbf {m} }
Schreibt man nun das Kreuzprodukt als Multiplikation mit einer schiefsymmetrischen Matrix, wird der Zusammenhang zur Plückermatrix offensichtlich:
[
l
]
×
=
a
b
⊤
−
b
a
⊤
=
(
0
−
l
2
l
1
l
2
0
−
l
0
−
l
1
l
0
0
)
{\displaystyle [\mathbf {l} ]_{\times }=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }-\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }=\left({\begin{array}{ccc}0&-l_{2}&l_{1}\\l_{2}&0&-l_{0}\\-l_{1}&l_{0}&0\end{array}}\right)}
und analog
[
x
]
×
=
l
m
⊤
−
m
l
⊤
{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{\times }=\mathbf {l} \mathbf {m} ^{\top }-\mathbf {m} \mathbf {l} ^{\top }}
James F. Blinn: A Homogeneous Formulation for Lines in 3 Space . In: Proceedings of the 4th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques (= SIGGRAPH '77 ). ACM, New York, NY, USA 1. Januar 1977, S. 237–241 , doi :10.1145/563858.563900 acm.org [abgerufen am 4. August 2016]). 
![{\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\propto \mathbf {A} \mathbf {B} ^{\top }-\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\top }=\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37df98efce8bfc41093b5727a00b03d516590648)
![{\displaystyle \mathbf {0} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e45a31244b21858f4f70ead8a07adc49666d7a0)
![{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35a7875bb2905504b075e52442684bd9a84b043)
![{\displaystyle \mathbf {0} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c15cf28f43843b1232daded3566c7b05923e7d)
![{\displaystyle \mathbf {E} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3bd7ce469f2778bfc4bf64979ca4f2c09b5e01)
![{\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }=[\mathbf {L} ]_{\times }(0,0,0,1)^{\top }=(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0)^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa84a4bb24e69c209748ec91c55c67982aea9a0)
![{\displaystyle \mathbf {X} _{0}\cong [\mathbf {L} ]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fdaea009ba2aa0af4039fc845fac55fd9e26e95)
![{\displaystyle [\mathbf {L} ^{\prime }]_{\times }=\mathbf {A} ^{\prime }\mathbf {B} ^{\prime \top }-\mathbf {B} ^{\prime }\mathbf {A} ^{\prime \top }=(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )^{\top }-(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )^{\top }={\underset {\lambda }{\underbrace {(\alpha \delta -\beta \gamma )} }}[\mathbf {L} ]_{\times },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78eecfc7dcd72cae6de8f6818e8afe0a6d5e85df)
![{\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa47c15610a4b62904f15880e96fb2842a33305)
![{\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} =\mathbf {A} {\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-\mathbf {B} {\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7b077530cc418d063c2bfd63ccf391e92501ae)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {E} ^{\top }[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} ={\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {A} } }}{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {B} } }}{\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb6377f5565183125d068f3cd570b420fbc70bb)
![{\displaystyle [{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\mathbf {E} \mathbf {F} ^{\top }-\mathbf {F} \mathbf {E} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4aed4317a50c489acfe4500e5a30c823320caad)
![{\displaystyle \mathbf {G} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff731aeddec41b05e54cfab69a2750668a385d3)
![{\displaystyle \forall \mathbf {E} \in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}:\,\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} {\text{ lies on }}\mathbf {L} \iff [{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} =\mathbf {0} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f85e443cc6e43bed608dadd6f9306d83ecd8ab)
![{\displaystyle \left([{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\right)^{\top }=[\mathbf {L} ]_{\times }[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498f185932a71b4fcc3b5729ceeb5edf59678cc4)
![{\displaystyle [\mathbf {l} ]_{\times }=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }-\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }=\left({\begin{array}{ccc}0&-l_{2}&l_{1}\\l_{2}&0&-l_{0}\\-l_{1}&l_{0}&0\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be2fbe3f96438ab9b70fb855f312da37e3b1f93)
![{\displaystyle [\mathbf {x} ]_{\times }=\mathbf {l} \mathbf {m} ^{\top }-\mathbf {m} \mathbf {l} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc6323f4344ba2d2e77a45632ace96352c57e02)