In der Mathematik ist ein konvexer Kegel ein Kegel, der unter Linearkombinationen mit positiven Koeffizienten (auch konische Kombinationen genannt) abgeschlossen ist. Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der konischen Optimierung.

Ein konvexer Kegel (hellblau). Die violette Menge stellt die Linearkombinationen mit positiven Koeffizienten für die Punkte und dar. Die gekrümmten Linien am rechten Rand sollen andeuten, dass die Gebiete ins Unendliche auszudehnen sind.

Definition

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Gegeben sei eine Menge   eines  -Vektorraumes, wobei   ein angeordneter Körper ist. Meist ist  .

Die Menge   ist ein konvexer Kegel, wenn eine der folgenden Definitionen zutrifft:

  •   ist konvex und ein Kegel.
  •   ist ein Kegel, und für beliebige   ist   wieder in   enthalten.
  • Für beliebige   und   aus   ist stets   wieder in  .
  • Die Menge   ist abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen.

Eigenschaften

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  • Schnitte von Familien von Konvexen Kegeln sind wieder Konvexe Kegel. Somit bilden die konvexen Kegel ein Hüllensystem.
  • Die konische Hülle (manchmal auch positive Hülle genannt)   weist jeder Menge den kleinsten konvexen Kegel zu, der diese Menge enthält. Somit ist die konische Hülle der Hüllenoperator zu dem Hüllensystem der konvexen Kegel.
  • Jeder konvexe Kegel definiert eine Ordnungsrelation auf dem Vektorraum, in dem er sich befindet. Der konvexe Kegel wird dann als Ordnungskegel aufgefasst.

Kegel über Teilmengen der Sphäre

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Für eine Teilmenge   der Einheitssphäre   heißt

 

der Kegel über  .

Jeder Kegel   ist von der Form   für  .

Die Konvexität von Kegeln lässt sich durch folgende äquivalente geometrische Definition beschreiben: Ein Kegel   ist genau dann ein konvexer Kegel, wenn der Durchschnitt mit jedem Großkreis der Einheitssphäre zusammenhängend ist.

Weitere Begriffe

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Ein Kegel   heißt ein polyedrischer Kegel, wenn es eine Matrix   gibt, so dass

 

ist. Ein Kegel ist genau dann ein polyedrischer Kegel, wenn er von einer endlichen Menge an Vektoren erzeugt wird.

Ein Kegel heißt regulär, wenn

 .

Die Automorphismengruppe eines Kegels   ist

 .

Ein Kegel heißt homogen, wenn die Automorphismengruppe transitiv auf   wirkt.

Er heißt symmetrisch, wenn es zu jedem   eine Involution   mit   als einzigem Fixpunkt gibt. Symmetrische konvexe Kegel sind stets homogen.

Ein Kegel   heißt reduzibel wenn er von der Form

 

mit   ist, irreduzibel sonst.

Der zu   duale Kegel ist definiert als  . Auch diese Definition lässt sich analog für Vektorräume mit Skalarprodukt über einem angeordneten Körper formulieren.

Ein Kegel heißt selbstdual, wenn   ist.

Charakterisierung symmetrischer konvexer Kegel: Ein konvexer Kegel ist genau dann symmetrisch, wenn er offen, regulär, homogen und selbstdual ist.

Satz von Koecher-Vinberg

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Der positive Kegel einer Jordan-Algebra ist die Menge der Elemente mit positivem Spektrum. Eine Jordan-Algebra   heißt formal reell, wenn sich   nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. In einer formal reellen Jordan-Algebra gehört ein Element genau dann zum positiven Kegel, wenn es ein Quadrat ist.

Der Satz von Koecher-Vinberg besagt, dass die Konstruktion des positiven Kegels eine Bijektion zwischen formal reellen Jordan-Algebren und symmetrischen konvexen Kegeln herstellt.

Symmetrische konvexe Kegel werden deshalb auch als Positivitäts-Gebiet (engl.: domain of positivity) bezeichnet.

Klassifikation symmetrischer konvexer Kegel

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Max Koecher benutzte 1965 die Klassifikation formal reeller Jordan-Algebren zur Klassifikation der symmetrischen konvexen Kegel.

Die irreduziblen symmetrischen konvexen Kegel in   sind durch die folgende Liste gegeben:

  • der Lorentz-Kegel  
  • der Kegel   der positiven symmetrischen  -Matrizen für  
  • der Kegel   der positiven hermiteschen komplexen  -Matrizen für  
  • der Kegel   der positiven hermiteschen quaternionischen  -Matrizen für  
  • und für   der Kegel   mit  .

Literatur

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  • Benoist, Yves: A survey on divisible convex sets. Geometry, analysis and topology of discrete groups, 1–18, Adv. Lect. Math. (ALM), 6, Int. Press, Somerville, MA 2008. pdf
  • Koecher, Max: The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Edited, annotated and with a preface by Aloys Krieg and Sebastian Walcher. Lecture Notes in Mathematics, 1710. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-66360-6.