Konische Hülle

Hüllenoperator zu Vektorraum, verwendet in der mathematischen Optimierung

Die konische Hülle, manchmal auch positive Hülle genannt, ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zuordnet, der diese Menge enthält. Die konische Hülle findet Verwendung in der Theorie der mathematischen Optimierung, insbesondere in der linearen Optimierung.

Definition

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Gegeben sei ein  -Vektorraum   und   eine beliebige Teilmenge von  . Dann heißt

 

die konische Hülle oder auch positive Hülle von  . Sie ist der kleinste konvexe Kegel, der   enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

 .

Bemerkungen

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  • Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige  -Vektorräume definieren, solange   ein geordneter Körper ist.
  • Die Notation   wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise findet sich auch die Bezeichnung  . Diese Notation bezeichnet aber auch manchmal den kleinsten (gewöhnlichen) Kegel, der   enthält und wird dann Kegelhülle genannt.

Eigenschaften

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  • Die konische Hülle ist die kleinste Menge, die abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen der Elemente von   ist. Dies folgt direkt aus der zweiten Charakterisierung.
  •   ist ein Hüllenoperator, es gilt also für  
  •  ,
  •  ,
  •  .
  • Es gilt  . Hierbei ist   die Kegelhülle und   die konvexe Hülle.

Endlich erzeugter Kegel

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Ein Kegel   heißt endlich erzeugter Kegel, wenn es eine endliche Menge   gibt, so dass

 

ist. Ein Kegel im   ist genau dann endlich erzeugt, wenn er ein polyedrischer Kegel ist.

Beispiele

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Sind im   die zwei Vektoren

 .

gegeben, so ist

 ,

da sich jedes Element dieser Menge (der erste Quadrant) als Positivkombination von   oder   darstellen lässt.

Sind die Monome   gegeben, so ist

 

für  . Dies sind dann genau alle Polynome vom Maximalgrad 2 mit positiven Koeffizienten.

Literatur

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