Positivstellensatz von Krivine und Stengle

Satz in der algebraischen Geometrie

Der Positivstellensatz von Krivine und Stengle ist eine Charakterisierung positiver Polynome auf semialgebraischen Mengen über reell abgeschlossenen Körpern, insbesondere auch über den reellen Zahlen. Er fällt in das Gebiet der reellen algebraischen Geometrie.

Der Satz kann als reelles Analogon zum Hilbertschen Nullstellensatz verstanden werden. Er wurde 1964 von Jean-Louis Krivine und 1974 von Gilbert Stengle bewiesen.[1][2]

Sei   ein reell abgeschlossener Körper, betrachte den Polynomring   über   in   Variablen. Seien   und   endliche Teilmengen von  . Betrachte die semialgebraische Menge

 

und definiere die dazugehörige Präordnung

 

Dabei ist   die Menge der Quadratsummen in  , also die Menge aller endlichen Summen quadrierter Polynome. Alle Polynome in   sind offensichtlich nichtnegativ auf  , man kann   somit als "algebraisches Zertifikat" für Nichtnegativität auf   sehen. Der Positivstellensatz qualifiziert, inwiefern dieses algebraische Zertifikat alle nichtnegativen Polynome abdeckt.

Sei   ein Polynom. Der Positivstellensatz von Krivine und Stengle besagt:

(i) Es gilt   genau dann, wenn  
(ii) Es gilt   genau dann, wenn  

Varianten

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Die folgenden Sätze sind Spezialisierungen des Positivstellensatzes von Krivine und Stengle unter stärkeren Annahmen. Sie finden unter anderem Anwendung in der polynomiellen Optimierung.[3]

Positivstellensatz von Schmüdgen

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Betrachte den Fall   und  . Ist die semialgebraische Menge   kompakt, so gilt

 

für jedes Polynom  .[4] Der Positivstellensatz von Schmüdgen ist für   formuliert und gilt im Allgemeinen nicht für alle reell abgeschlossenen Körper.[5]

Positivstellensatz von Putinar

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Betrachte anstatt von   den quadratischen Modul

 

Angenommen,   sei archimedisch, das heißt, es gebe ein   mit   und  . Dann gilt

 

für jedes Polynom  .[6]

Einzelnachweise

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  1. J. L. Krivine: Anneaux préordonnés. In: Journal d'Analyse Mathématique. Band 12, Nr. 1, Dezember 1964, ISSN 0021-7670, S. 307–326, doi:10.1007/BF02807438 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2023]).
  2. Gilbert Stengle: A nullstellensatz and a positivstellensatz in semialgebraic geometry. In: Mathematische Annalen. Band 207, Nr. 2, Juni 1974, ISSN 0025-5831, S. 87–97, doi:10.1007/BF01362149 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2023]).
  3. Monique Laurent: Sums of Squares, Moment Matrices and Optimization Over Polynomials. In: Emerging Applications of Algebraic Geometry. Band 149. Springer New York, New York, NY 2009, ISBN 978-0-387-09685-8, S. 157–270, doi:10.1007/978-0-387-09686-5_7 (springer.com [abgerufen am 17. Mai 2023]).
  4. Konrad Schmüdgen: The K-moment problem for compact semi-algebraic sets. In: Mathematische Annalen. 289. Jahrgang, Nr. 1, 1991, ISSN 0025-5831, S. 203–206, doi:10.1007/bf01446568.
  5. Gilbert Stengle: Complexity Estimates for the Schmüdgen Positivstellensatz. In: Journal of Complexity. Band 12, Nr. 2, 1. Juni 1996, ISSN 0885-064X, S. 167–174, doi:10.1006/jcom.1996.0011 (sciencedirect.com [abgerufen am 17. Mai 2023]).
  6. Mihai Putinar: Positive Polynomials on Compact Semi-Algebraic Sets. In: Indiana University Mathematics Journal. Band 42, Nr. 3, 1993, ISSN 0022-2518, S. 969, doi:10.1512/iumj.1993.42.42045 (indiana.edu [abgerufen am 17. Mai 2023]).