Potenz-beschränktes Element

Ein potenz-beschränktes Element ist ein Element eines topologischen Ringes, dessen Potenzen beschränkt sind. Diese Elemente finden Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei $A$ ein topologischer Ring. Eine Teilmenge $T\subset A$ heißt beschränkt, falls für jede Umgebung $U$ der Null eine offene Umgebung $V$ der Null existiert, sodass $T\cdot V:=\{t\cdot v\mid t\in T,v\in V\}\subset U$ gilt. Ein Element $a\in A$ heißt potenz-beschränkt, falls die Menge $\{a^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ beschränkt ist.

Beispiele

• Ein Element $x\in \mathbb {R}$ ist genau dann potenz-beschränkt, wenn $|x|\leq 1$ gilt.
• Ist allgemeiner $A$ ein topologischer kommutativer Ring, dessen Topologie von einem Betrag induziert wird, dann ist ein Element $x\in A$ genau dann potenz-beschränkt, wenn $|x|\leq 1$ gilt. Ist der Betrag nicht-archimedisch, so bilden die potenz-beschränkten Elemente einen Teilring, der mit $A^{\circ }$ bezeichnet wird. Das folgt aus der ultrametrischen Ungleichung.
• Der Ring der potenz-beschränkten Elemente in $\mathbb {Q} _{p}$ ist $\mathbb {Q} _{p}^{\circ }=\mathbb {Z} _{p}$.
• Jedes topologisch nilpotente Element ist potenz-beschränkt.

Literatur

• Wedhorn: Adic spaces