In der Zahlentheorie ist eine praktische Zahl (von englisch practical number, auch panarithmic number) eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass jede kleinere Zahl als Summe von paarweise verschiedenen echten Teilern von geschrieben werden kann.

Der Mathematiker A. K. Srinivasan hat diese Zahlen erstmals im Jahr 1948 erwähnt.[1][2]

Beispiele

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  • Die Zahl   hat die echten Teiler   und  . Man kann alle kleineren Zahlen als Summe dieser echten Teiler schreiben:
 
Offenbar kann man alle Zahlen   als Summe dieser echten Teiler schreiben. Somit ist   eine praktische Zahl.
  • Die Zahl   hat die echten Teiler   und  . Man kann die folgenden kleineren Zahlen als Summe dieser echten Teiler schreiben:
1=1, 2=2, 3=2+1, …
Aber schon die Zahl 4 kann man nicht mehr als Summe dieser echten Teiler schreiben, weil die Voraussetzung Summe von paarweise verschiedenen echten Teiler gebrochen werden müsste, nämlich 4=2+2. Somit ist die Zahl   keine praktische Zahl.
  • Die folgenden Zahlen sind die kleinsten praktischen Zahlen (die 198. praktische Zahl ist  ):
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 176, 180, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 224, 228, 234, 240, 252, …, 984, 990, 992, 1000, 1008, … (Folge A005153 in OEIS)

Eigenschaften

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  • Eine praktische Zahl, die defizient ist, ist leicht defizient (die Summe aller echten Teiler einer praktischen Zahl ist also höchstens 1 kleiner als die Zahl selbst).[1]
  • Alle Zahlen der Form   mit   sind praktische Zahlen.[2][3]
  • Alle geraden vollkommenen Zahlen sind praktische Zahlen.[1]
  • Sei   das Produkt von Potenzen (ungleich Null) der ersten   Primzahlen. Dann gilt:
  ist eine praktische Zahl.
Insbesondere ist jede Primfakultät (also jedes Produkt der ersten   Primzahlen mit  ) eine praktische Zahl.[1]
  • Alle Hochzusammengesetzte Zahlen sind praktische Zahlen.
  • Alle Zahlen der Form   mit  , also jede Zweierpotenz, sind praktische Zahlen.[1]
  • Die einzige ungerade praktische Zahl ist  .
Beweis:
Angenommen, es sei   eine ungerade Zahl. Dann hat diese Zahl die echten Teiler   und irgendwelche größeren Teiler  . Somit kann man aber die Zahl 2 nicht als Summe ihrer echten Teiler darstellen. Somit kann   keine praktische Zahl sein.  
  • Sei   eine praktische Zahl. Dann gilt:
  ist ein Vielfaches von 4 oder 6 (oder von beiden Zahlen).
Diese Aussage wurde von A. K. Srinivasan bewiesen.[1]
  • Das Produkt von zwei praktischen Zahlen ist wieder eine praktische Zahl. Die Menge der praktischen Zahlen ist daher abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
Beweis: siehe[4]
  • Sei   eine praktische Zahl und   ein Teiler von  . Dann gilt:
  ist ebenfalls eine praktische Zahl.
  • Das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz kgV) von zwei praktischen Zahlen ist wieder eine praktische Zahl.
  • Es existieren unendlich viele Fibonacci-Zahlen, welche praktische Zahlen sind. Man nennt sie praktische Fibonacci-Zahlen. Die kleinsten lauten:
1, 2, 8, 144, 46368, 832040, 14930352, 267914296, 4807526976, 1548008755920, 498454011879264, 160500643816367088, 2880067194370816120, 51680708854858323072, 16641027750620563662096, 5358359254990966640871840, … (Folge A124105 in OEIS)
  • Für jede positive rationale Zahl   gilt:
Es gibt eine Darstellung von   als Summe von endlich vielen Stammbrüchen mit paarweise verschiedenen Nennern, wobei jeder Nenner eine praktische Zahl ist (eine sogenannte Zerlegung in ägyptische Brüche).[5][6]
Mit anderen Worten: Sei  . Dann gilt:
  mit paarweise verschiedenen praktischen Zahlen   und  
Beispiel 1:
Sei  . Dann kann man diese Zahl mittels eines speziellen Verfahrens zerlegen in die vier Stammbrüche
 
Diese Zerlegung ist eine Zerlegung in ägyptische Brüche. Man erhält die Nenner   und  . Tatsächlich sind diese vier Nenner allesamt praktische Zahlen.
Nicht immer erhält man mit diesem Verfahren sofort praktische Zahlen, aber es gibt immer eine solche Darstellung:
Beispiel 2:
Sei  . Dann kann man diese Zahl mittels desselben Verfahrens zerlegen in die vier Stammbrüche
 
Diese Zerlegung ist keine Zerlegung in ägyptische Brüche. Man erhält die Nenner   und  . Es sind zwar drei dieser vier Nenner praktische Zahlen (  und  ), aber   ist keine praktische Zahl. Somit muss man den Bruch   mit Gewalt auf den nächstbesten Nenner bringen, der eine praktische Zahl ist, nämlich  . Letztendlich erhält man folgende ägyptische Brüche:
 
Man erhält die Nenner   und  . Tatsächlich sind diese fünf Nenner allesamt praktische Zahlen.
  • Jede gerade natürliche Zahl   kann dargestellt werden als Summe von zwei praktischen Zahlen   und  .[7][8]
  • Es gibt unendlich viele Tripel (=Dreiertupel)   von praktischen Zahlen.[7][8]
  • Es gibt immer mindestens eine praktische Zahl im Intervall   für alle positiven reellen Zahlen  .[9]
  • Sei   die Anzahl der praktischen Zahlen, welche kleiner oder gleich   sind. Dann gilt:[10]
  mit   und einer Konstanten  

Ungelöste Probleme

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  • Es wird vermutet, dass es unendlich viele Fünfertupel   von praktischen Zahlen gibt.[8]

Primitive praktische Zahlen

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Eine primitive praktische Zahl   ist eine praktische Zahl, die eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:

  • Sie ist quadratfrei.
  • Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als   ist, darf das Ergebnis keine praktische Zahl mehr sein.

Beispiele

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  • Die Zahl   ist, wie weiter oben schon gezeigt wurde, eine praktische Zahl. Sie ist nicht quadratfrei, weil   ist. Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als   ist, also durch  , erhält man  , welche keine praktische Zahl ist. Somit ist   eine primitive praktische Zahl.
  • Die Zahl   ist eine praktische Zahl. Ihre Primfaktorzerlegung ist  . Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als   ist, also durch   oder durch  , erhält man   beziehungsweise  , welche beide noch immer praktische Zahlen sind. Somit ist   keine primitive praktische Zahl.
  • Die kleinsten primitiven praktischen Zahlen sind die folgenden (es gibt genau 61 davon, welche kleiner oder gleich 1000 sind):
1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460, 462, 464, 476, 496, 510, 522, 532, 546, 558, 570, 580, 620, 644, 666, 690, 714, 740, 744, 798, 812, 820, 858, 860, 868, 870, 888, 930, 966, 984, 1032, … (Folge A267124 in OEIS)

Eigenschaften

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  • Jede Primfakultät (also jedes Produkt der ersten   Primzahlen mit  ) ist eine primitive praktische Zahl.[1]
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Einzelnachweise

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  1. a b c d e f g A. K. Srinivasan: Practical numbers. Current Science 17, 1948, S. 179–180, abgerufen am 1. Januar 2019.
  2. a b Ross Honsberger: Mathematische Edelsteine. Vieweg, 1981, S. 112, abgerufen am 1. Januar 2019.
  3. Eric W. Weisstein: Practical Number. In: MathWorld (englisch).
  4. Maurice Margenstern: Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures. (PDF) Journal of Number Theory 37, 1991, S. 1–36, abgerufen am 1. Januar 2019.
  5. Zhi-Wei Sun: A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes. (PDF) Nanjing University, Department of Mathematics, 2015, S. 1–15, abgerufen am 1. Januar 2019.
  6. David Eppstein: Egyptian fractions with practical denominators. 2016, abgerufen am 1. Januar 2019.
  7. a b Giuseppe Melfi: On two conjecture about practical numbers. (PDF) Journal of Number Theory 56 (1), 1996, S. 205–210, abgerufen am 1. Januar 2019.
  8. a b c Giuseppe Melfi: A survey on practical numbers. (PDF) Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino, 53, 1995, S. 347–359, abgerufen am 1. Januar 2019.
  9. Miriam Hausman, Harold N. Shapiro: On Practical Numbers. Communications on Pure and Applied Mathematics, 37 (5), 1984, S. 705–713, abgerufen am 1. Januar 2019.
  10. Andreas Weingartner: Practical numbers and the distribution of divisors. The Quarterly Journal of Mathematics, 66 (2), 2015, S. 743–758, abgerufen am 1. Januar 2019.