Ulam-Spirale

In der Mathematik ist die Ulam-Spirale oder Primzahl-Spirale eine einfache Methode, Primzahlen grafisch darzustellen. Sie wurde 1963 von dem polnischen Mathematiker Stanisław Marcin Ulam während eines wissenschaftlichen Vortrags entdeckt, als er aus Langeweile Zahlenreihen auf ein Papier kritzelte. Er begann mit einer „1“ in der Mitte und fuhr dann in Spiralform fort:

Zahlen von 1 bis 50 in Spiralform angeordnet

Dann kreiste er alle Primzahlen ein und erhielt folgendes Muster:

Kleine Ulam-Spirale

Ulam-Spirale der Größe 200×200 (= bis 40.000)

Ulam-Spirale bis 1 Million

Ulam-Spirale von 1 bis 3.976.036

Hier sind alle natürlichen Zahlen bis 100.000 in Spiralform angeordnet, wobei die Punkte umso dicker sind, je mehr Teiler die Zahl hat

Zu seiner Überraschung befanden sich erstaunlich viele Primzahlen auf diagonalen Geraden, wie die hier dargestellten Grafiken zeigen. Dieses sind Ulam-Spiralen, wobei die Primzahlen durch schwarze Punkte markiert sind. Die Diagonallinien sind deutlich sichtbar. Bei ausreichend großer Entfernung vom Mittelpunkt kann man auch horizontale und vertikale Linien entdecken.

Es scheint, als würden die Diagonallinien immer auftauchen, unabhängig von der Größe der Spirale. Dies scheint auch dann der Fall zu sein, wenn die Anfangszahl sehr viel größer als 1 ist. Daraus folgt, dass es viele Tupel $(a,b,c)$ von ganzen Zahlen gibt, mit denen die Funktion

$f(n)=a\,n^{2}+b\,n+c\,$ mit $n\in \mathbb {Z}$

deutlich mehr Primzahlen ergibt, als bei zufälliger Wahl von Zahlen der gleichen Größenordnung zu erwarten wäre.

Den Primzahlforschern waren diese Zahlen schon lange geläufig. Im 18. Jahrhundert hatte der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler die Formel $n^{2}+n+17$ entdeckt, die für aufeinanderfolgende Werte $n$ von 0 bis 15 jeweils Primzahlen ergab. Tatsächlich sind diese 16 Zahlen diejenigen, die auch in Ulams Schema auf der Hauptdiagonale erscheinen: 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 und 257. Später fand Euler eine weitere Formel, die für $n$ von 0 bis 40 ausschließlich Primzahlen ergab: $n^{2}-n+41$. Durch Nachrechnen am Computer zeigte sich, dass diese zweite Eulersche Formel erstaunlich gut war, da sie für $n$ bis 10.000.000 in 22,08 % der Fälle Primzahlen ergibt. Ulam fand weitere Formeln, deren Prozentzahlen bei der Generierung von Primzahlen fast ebenso gut waren wie die der Eulerformel. Auch bessere Formeln existieren, etwa $2n^{2}+796n-79003$. Das Muster der Ulam-Spirale kann bis heute nicht vollständig erklärt werden.

Im März 1964 wurde die Ulam-Spirale auf dem Titelblatt der Zeitschrift Scientific American abgebildet.

Literatur

• M. Stein, S. M. Ulam: An Observation on the Distribution of Primes. In: The American Mathematical Monthly. 74, 1967, ISSN 0002-9890, S. 43–44.
• M. L. Stein, S. M. Ulam, M. B. Wells: A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes. In: The American Mathematical Monthly. 71, 1964, S. 516–520.
• Martin Gardner: Mathematical Recreations: The Remarkable Lore of the Prime Number. In: Scientific American. 210, März 1964, ISSN 0036-8733, S. 120–128.
• Paul Hoffman: Erdős. 1913–1996: l'homme qui n'aimait que les nombres. Editions Belin, Paris 2000, ISBN 2-7011-2539-1.

Weblinks

• Links zu anderen Seiten über die Ulam-Spirale (englisch)
• Applet, das Ulam-Spiralen zeichnet (englisch)
• Ein weiteres Applet mit Quellcode (englisch)
• Zahlenspiralen