Projektionssatz (Dreieck)

Der Projektionssatz ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Verallgemeinerung des Kathetensatzes auf beliebige Dreiecke darstellt:

Flächengleichheit der beiden grauen Rechtecke:
mit $c=AB,\,b=AC$
und $p_{bc}=AE,\,p_{cb}=AD$
gilt $|c|\cdot |p_{bc}|=|b|\cdot |p_{cb}|$

Für zwei Seiten in einem beliebigen Dreieck sind diejenigen Rechtecke flächeninhaltsgleich die aus einer Seite und der orthogonalen Projektion der anderen auf sie gebildet werden.

In einem beliebigen Dreieck $\triangle ABC$ mit Seiten a, b und c bezeichne p_xy die Projektion der Seite x auf die Seite y, dann gilt:

${\begin{aligned}|c|\cdot |p_{bc}|&=|b|\cdot |p_{cb}|\\|a|\cdot |p_{ba}|&=|b|\cdot |p_{ab}|\\|c|\cdot |p_{ac}|&=|a|\cdot |p_{ca}|\\\end{aligned}}$

In einem rechtwinkligen Dreieck $\triangle ABC$ mit einem rechten Winkel in C entsprechen die Projektionen p_cb und p_ca den Seiten b und a. Damit liefert der Projektionssatz dann:

${\begin{aligned}|c|\cdot |p_{bc}|&=|b|^{2}\\|c|\cdot |p_{ac}|&=|a|^{2}\end{aligned}}$

Man erhält also den Kathetensatz des Euklid.

Literatur

• Hans Schupp: Elementargeometrie (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 117–118