Projektive Basis

Charakterisierung von Projektivitäten in der analytischen Geometrie

Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von Punkten eines -dimensionalen projektiven Raums, von denen je projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.

In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhängige Punkte eine projektive Basis

Definition

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Ein  -Tupel   von Punkten eines projektiven Raums   über einem  -Vektorraum   heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

  • Es gibt linear unabhängige Vektoren   mit   für  .
  • Jedes  -Tupel   von Vektoren aus   mit   für   ist linear unabhängig.
  • Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt  .

Ein  -Tupel   von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je   Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann  .[1]

Spezialfälle

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  •  : drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
  •  : vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
  •  : fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.

Projektive Standardbasis

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Die projektive Standardbasis   im projektiven Standardraum   besteht aus den von den Standard-Basisvektoren   des Koordinatenraums   erzeugten Punkten

 ,

zusammen mit dem Einheitspunkt

 .[2]

In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:

  • In der projektiven Gerade   über einem Körper   bilden die   Punkte   und   die projektive Standardbasis.
  • In der projektiven Ebene   über einem Körper   bilden die   Punkte   und   die projektive Standardbasis.
 
  • Im  -dimensionalen projektiven Raum   über einem Körper   bilden die   Punkte   und   die projektive Standardbasis.

Verwendung

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Ist   eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums  , dann gibt es eine Basis   von  , sodass

 

gilt.[2] Sind nun   und   zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen   und  , dann gibt es genau eine projektive Abbildung  , sodass

 

für   gilt.[2] Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe   beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum   mit der projektiven Basis   mit Hilfe der projektiven Abbildung

 

homogene projektive Koordinaten definieren.[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 142.
  2. a b c Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 143.
  3. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 144.