Pseudokreis

Die Pseudokreis ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein lediglich aus vier Punkten bestehender topologischer Raum, welcher schwach homotopieäquivalent zum Kreis ist.

Definition

Seien $l$ (eng. left für links), $r$ (eng. right für rechts), $t$ (eng. top für oben) und $b$ (eng. bottom für unten) vier Punkte. Nun ist der Pseudokreis die Menge $\mathbb {S} =\{l,r,t,b\}$ mit der Topologie:

$\{\{l,r,t,b\},\{l,r,t\},\{l,r,b\},\{l,r\},\{l\},\{r\},\emptyset \}.$

Durch die Abbildung $S^{1}\rightarrow \mathbb {S}$, welche dem Nordpol von $S^{1}$ und allen Punkten im offenen oberen Halbkreis den Punkt $t\in \mathbb {S}$, dem Südpol von $S^{1}$ und allen Punkten im offenen unteren Halbkreis den Punkt $b\in \mathbb {S}$, der linken Seite den Punkt $l\in \mathbb {S}$ und der rechten Seite den Punkt $r\in \mathbb {S}$ zuordnet, ist der Pseudokreis schwach homotopieäquivalent zum Kreis. Dadurch ist insbesondere $\pi _{1}(\mathbb {S} )\cong \mathbb {Z}$, wobei die gerade beschriebene Abbildung ein Generator ist. Umgekehrt ist jedoch jede stetige Abbildung $\mathbb {S} \rightarrow S^{1}$ konstant.

Verallgemeinerungen

Allgemeiner dient der Pseudokreis nur als einfachstes Beispiel des sehr viel stärkeren Resultates, dass jeder Homotopie-, Homologie- und Kohomologietyp eines Simplizialkompkexes sogar durch einen endlichen topologischen Raum dargestellt werden kann. Für jeden Simplizialkompkex $K$ gibt es einen endlichen topologischen Raum $X$ und für jeden endlichen topologischen Raum $X$ gibt es einen Simplizialkompkex $K$, sodass eine schwache Homotopieäquivalenz:

$|K|\rightarrow X$

existiert. Dabei ist $|K|$ die geometrische Realisierung von $K$.

Literatur

• Michael McCord: Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces. In: Duke Math. J. Band 33, Nr. 3, 1966, S. 465–474, doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7, JSTOR:1969983. 

Weblinks

• pseudocircle auf nLab (englisch)