Punktetrennende Menge

wichtiges Werkzeug in der Funktionalanalysis
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Eine punktetrennende Menge[1] ist in der Mathematik eine Menge von Funktionen auf einem gegebenen Raum, sodass sich je zwei Punkte des Raumes anhand ihrer Funktionswerte bzgl. dieser Funktionen unterscheiden lassen. Der Begriff findet Anwendung in der allgemeinen Topologie und der Funktionalanalysis.

Definition

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Sei   eine Menge. Eine Menge   von Funktionen mit Definitionsbereich   heißt punktetrennend, wenn für je zwei Elemente   mit   eine Funktion   existiert, sodass  .[2]

Verwendung

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Sei wiederum   eine Menge und   eine Menge von Funktionen auf  . Nun lässt sich die Auswertungsabbildung

 

durch   definieren (  sei dabei die Zielmenge von  ). Diese ist genau dann injektiv, wenn   punktetrennend ist.[3]

Ist   ein topologischer Raum und   die Menge aller  -wertigen stetigen Funktionen auf  , so ist der Abschluss des Bildes von   die Stone-Čech-Kompaktifizierung von  . Ist   punktetrennend (das heißt   ist vollständiger Hausdorff-Raum), so liefert   also eine Identifizierung der Menge   mit einer Teilmenge der Stone-Čech-Kompaktifizierung.[4]

Sei allgemeiner   eine beliebige Menge von Funktionen auf   in topologische Räume. Die Auswertungsabbildung ist genau dann eine Einbettung, wenn   die Initialtopologie bezüglich   trägt und   punktetrennend ist. Diese Initialtopologie heißt auch schwache Topologie bezüglich  , insbesondere in der Funktionalanalysis, wenn   eine Menge linearer Funktionale auf einem Vektorraum   ist. Ist der Zielraum jeder Funktion in   ein Hausdorffraum, so ist die schwache Topologie bezüglich   genau dann hausdorffsch, wenn   punktetrennend ist. Ist   eine Menge von linearen Funktionalen auf einem Vektorraum, lassen sich die Punktetrennung und somit die Hausdorffeigenschaft der schwachen Topologie durch die Bedingung charakterisieren, dass

 

gilt. Insbesondere folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem lokalkonvexen Hausdorffraum punktetrennend und somit die schwache Topologie auf einem solchen Raum hausdorffsch ist.[5]

Der Satz von Stone-Weierstraß liefert, dass eine Unteralgebra der Algebra der  -Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum   genau dann dicht in   liegt, wenn sie punktetrennend ist und keinen Punkt stets auf die   abbildet.

Einzelnachweise

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  1. Punktetrennende Menge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Band ?. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8, S. ?.
  2. Nicolas Bourbaki: Topologie Générale (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1, Kap. 9, S. 9.
  3. Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, 1970, S. 56.
  4. Bourbaki: Topologie Générale. S. 10.
  5. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 60, 63.