Punktierter topologischer Raum
Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,x0), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x0 in X (Grundpunkt, Basispunkt, ausgezeichneter Punkt). Eine punktierte (stetige) Abbildung (X,x0) → (Y,y0) ist eine stetige Abbildung X → Y, die x0 auf y0 abbildet.
Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.
Ist die Inklusion eine Kofaserung, so spricht man von einem wohlpunktierten Raum.[1]
Ein topologischer Raum heißt homogen, wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.
Kategorielle Eigenschaften
BearbeitenDie Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kommakategorie . Sie besitzt Nullobjekte (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). Produkte sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, Koprodukte sind Ein-Punkt-Vereinigungen, also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben .
Homotopieklassen punktierter Abbildungen
BearbeitenZwei punktierte Abbildungen
heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung mit
![{\displaystyle H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48afd513813e0305e9f63e3f0bb2138edaa35a01)
![{\displaystyle H(x_{0},t)=y_{0}\ \forall t\in \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a00881e66f4cbf2b421bc18065ffa7f87f33fa8)
gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit bezeichnet.
![{\displaystyle \left[X,Y\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec156cb9ce0e02cf471b32b77dadfa62679adb95)
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Jon P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 8.3.