Bei der Punktprobe wird rechnerisch entschieden, ob ein Punkt in einer gegebenen Punktmenge liegt, also ob Inzidenz vorliegt. Dabei sind verschiedene Punktmengen möglich:

Liegt ein Punkt

Verfahren

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Eine Punktprobe wird durchgeführt, indem man die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Punktmenge einsetzt. Erfüllt der Punkt die Gleichung, d. h. entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Punktmenge. Entsteht eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht in der Punktmenge.

Somit ist es möglich, am Ende einer Rechnung zu überprüfen, ob z. B. ein berechneter Schnittpunkt zweier Geraden tatsächlich auf beiden Geraden liegt.

Beispiele

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Lineare Funktion

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Liegt der Punkt   auf der Geraden   mit der Funktionsgleichung   ?

Für   setzt man die x-Koordinate des Punktes P ein, also 4, für   die y-Koordinate des Punktes P, also 7, und erhält die Gleichung:  . Dies ist keine wahre Aussage, somit liegt der Punkt P nicht auf dem Graphen der Geraden g, also kurz  . Aus dieser Punktprobe lässt sich noch mehr schließen: Vergleicht man die y-Koordinate von P, also 7, mit der y-Koordinate des Punktes auf der Geraden an der Stelle  , nämlich 3, dann gilt:  . Und daraus folgt: Der Punkt   liegt oberhalb des Graphen der Geraden g in der von den Koordinatenachsen aufgespannten x-y-Ebene.

Geradengleichung in Parameterform

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Liegt der Punkt   auf der Geraden h mit der Parametergleichung   ?

Für den Vektor   setzt man den Ortsvektor des Punktes  ,  , ein und löst zeilenweise, also für jede der drei Koordinaten einzeln, nach dem Parameter   auf. Für die erste Koordinate (1. Zeile) erhält man die Gleichung  , also  . Da für die 2. Koordinate (zweite Zeile) aus der Gleichung   aber   folgt, gibt es einen Widerspruch. Da es also keine reelle Zahl   gibt, die alle 3 Koordinatengleichungen (Zeilengleichungen) gleichzeitig in drei wahre Aussagen überführt, liegt der Punkt   nicht auf der Geraden  , kurz  .

Ebenengleichung in Koordinatenform

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Liegt der Punkt   auf der Ebene mit der Koordinatengleichung   ?

Für  ,   und   setzt man die entsprechenden Koordinaten des Punktes   ein.  . Dies ist eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt   in der Ebene  , kurz  .

Weitere Anwendungen

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Geradengleichung in Punktsteigungsform

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Die Punktprobe kann auch dazu verwendet werden, eine Geradengleichung zu bestimmen, wenn ein Punkt   der Gerade   und deren Steigung   bekannt sind. Ansatz für die Geradengleichung:   mit  .

Der y-Achsenabschnitt   wird nun bestimmt, indem man die „Punktprobe“ für den Punkt   durchführt und die Geradengleichung nach   auflöst. Man erhält:  . Die Geradengleichung für die Gerade g lautet dann:  . Dies ist die Punktsteigungsform.

Bestimmung der Parameter einer ganz-rationalen Funktion 2. Grades

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Die Punktprobe kann, so drei Punkte   des   gegeben sind, zur Bestimmung einer quadratischen Gleichung bzw. eines Funktionsterms   verwendet werden, der als Schaubild eine Parabel besitzt. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift einer ganz-rationalen Funktion 2. Grades lautet:

  mit  

Nun führt man die Punktprobe für jeden der Punkte   durch und erhält ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den Variablen a, b und c. Nach Auflösung dieses Gleichungssystem nach den drei Variablen kann man den Funktionsterm der Funktion   aufstellen, der nach jeweils einer Punktprobe für die Koordinaten von   in wahre Aussagen übergeht.

Auswerten von Messreihen

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Gegeben seien   Messwerte. Gesucht ist ein Modell, in dem der funktionale Zusammenhang der Messwerte am besten dargestellt wird.   ( ) Messwerte werden benötigt, um über ein Gleichungssystem mit   Gleichungen die Modellparameter zu berechnen. Mit den restlichen   quasi überzähligen Messwerten kann man dann durch entsprechend viele Punktproben und deren Auswertung die Güte der Approximation der Daten in diesem Modell untersuchen.[1]

Einzelnachweise

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  1. Helmut Wirths: Lebendiger Mathematikunterricht, 2019, Norderstedt, BoD, ISBN 978-3-739 243 139, Kapitel 12 und 13.