Puppe-Folge

In der Mathematik ist die Puppe-Folge eine Konstruktion der Homotopietheorie.

Sie wurde 1958 von Dieter Puppe eingeführt und ist auch unter der Bezeichnung Puppe-Sequenz geläufig.

Definition

Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung. Es sei $C(f)$ der Abbildungskegel von $f$, dann ist

$Y\to C(f)$

eine Kofaserung und

$C(f)/Y=SX$

ist die Einhängung von $X$. Durch Iterieren erhält man die sogenannte Puppe-Folge

$X\to Y\to C(f)\to SX\to SY\to SC(f)\to S^{2}X\to S^{2}Y\to \ldots$

Anwendung

Für eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ und für jeden Raum $Z$ bilden die Homotopieklassen stetiger Abbildungen eine exakte Folge

$\ldots \left[SC(f),Z\right]\to \left[SY,Z\right]\to \left[SX,Z\right]\to \left[C(f),Z\right]\to \left[Y,Z\right]\to \left[X,Z\right]$