Quadratische Formen von Zufallsvariablen

Eine quadratische Form von reellen Zufallsvariablen , die eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen, ist eine Zufallsvariable, die sich additiv aus Summanden der Form mit reellen Konstanten für zusammensetzt.

Notation

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Vektoren werden standardmäßig als Spaltenvektoren aufgefasst. Der hochgestellte Index   kennzeichnet die Transponierung eines Vektors oder einer Matrix.   bezeichnet die Menge der reellwertigen Matrizen mit   Zeilen und   Spalten.   sei die Einheitsmatrix der Ordnung  . Für eine quadratische Matrix   bezeichnet   die Spur der Matrix  , das ist die Summe der Diagonaleinträge.

Definition

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  sei ein Zufallsvektor mit Werten in  .   sei eine quadratische Matrix mit Elementen   für  . Dann heißt

 

quadratische Form der reellen Zufallsvariablen  .[1]

Eigenschaften

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  •   ist eine reelle Zufallsvariable.
  • Falls   eine positiv semidefinite Matrix ist, gilt  .
  • Es gilt  . Daher gilt auch   für die symmetrische Matrix  . Für viele Eigenschaften quadratischer Formen von Zufallsvariablen stellt daher die Beschränkung auf symmetrische Matrizen   keine Einschränkung dar.
  • Es gilt
 

Erwartungswert einer quadratischen Form

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Satz:   sei ein  -dimensionaler Zufallsvektor mit dem Erwartungswertvektor   und der Kovarianzmatrix  . Für jede Matrix   gilt

 [2]

Diese Aussage gilt unabhängig davon, ob   symmetrisch ist und ob   invertierbar ist. Unmittelbar aus diesem Satz ergeben sich die folgenden Spezialfälle:

  • Der zentrierte Zufallsvektor   hat den Erwartungswertvektor   und dieselbe Kovarianzmatrix   wie der Zufallsvektor  , so dass sich
 
ergibt.
  • Eine wichtiger Spezialfall ergibt sich, wenn die Kovarianzmatrix   invertierbar ist. Dann gilt
 ,
denn  .
  • Für einen Vektor   hat der Zufallsvektor   den Erwartungswertvektor   und dieselbe Kovarianzmatrix   wie der Zufallsvektor  , so dass sich
 
ergibt.

Wahrscheinlichkeitsungleichungen für quadratische Formen

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Satz:   sei ein  -dimensionaler Zufallsvektor mit dem Erwartungswertvektor   und der Kovarianzmatrix  . Es sei   und die quadratischen reellen Matrizen   für   seien positiv semidefinit. Mit positiven Konstanten   für   seien die   Ereignisse

 

definiert. Dann gilt

 

mit

 [3][4]

Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich für  ,  ,   und  . Dann gelten die Ungleichungen

 

und

 

Die letzte Ungleichung wurde bereits 1962 von Samuel Stanley Wilks angegeben[5] und ist eine multivariate Verallgemeinerung der Tschebyscheffschen Ungleichung, die für eine reelle Zufallsvariable   mit dem Erwartungswert   und der Varianz   in der Form

 

geschrieben werden kann.

Literatur

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  • A. M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables – Theory and Applications (= Statistics: Textbooks and Monographs. Band 126). Dekker, New York / Basel /Hong Kong 1992, ISBN 0-8247-8691-2.
  • D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 42, Nr. 2, 1982, S. 297–301, JSTOR:2101213.

Einzelnachweise

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  1. A.M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables. Definition 3.1.1, S. 25.
  2. A.M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables. Corollary 3.2b.1, S. 51.
  3. D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. Theorem 1, S. 297.
  4. A.M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables. Theorem 4.8.1, S. 188.
  5. S. S. Wilks: Mathematical Statistics. Wiley, New York 1962, S. 92 (referenziert nach D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms, S. 298).