Quantenlogarithmus

Funktion der mathematischen Physik

Der Quantenlogarithmus ist eine Funktion der mathematischen Physik. Er ist eine Quantenversion des klassischen Logarithmus und kommt bei der Verallgemeinerung vom klassischen Dilogarithmus zum Quantendilogarithmus vor. Quantendilogarithmen werden bei der Untersuchung integrabler Quantenfeldtheorien auf Gittern verwendet.

Definition

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Es sei  . Der Quantenlogarithmus

 

ist definiert durch

 ,

wobei   eine entlang der reellen Achse von   nach   verlaufende und den Nullpunkt von oben umlaufende Kurve ist, zum Beispiel  .

(Für jede Kurve mit diesen Eigenschaften ergibt Integration dieses Integranden über die Kurve denselben Wert.)

Eigenschaften

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Im semiklassischen Limit   hat man für den Quantenlogarithmus den Grenzwert

 .

Für   erhält man

 .

Der Quantenlogarithmus hat eine Reihe von Symmetrieeigenschaften:

 
 
 .

Weiter gelten die Beziehungen

 
 
 

und man hat die Summenformel

 .

Die 1-Form   ist meromorph, sie hat einfache Polstellen mit Residuum   in den Punkten   mit  .

Literatur

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  • V. V. Fock, A. B. Goncharov: The quantum dilogarithm and representations of quantum cluster varieties. Invent. Math. 175 (2009), no. 2, 223–286. (Kapitel 4.1)