Quasi-Diedergruppe

In der Mathematik sind Quasi-Diedergruppen gewisse endliche nicht-abelsche Gruppen der Ordnung $2^{n}$, wobei $n\geq 4$ ist.

Definition

Eine Quasi-Diedergruppe ist eine Gruppe, die von zwei Elementen $a$ und $b$ der Form

$\langle a,b\mid a^{2^{n-1}}=b^{2}=1,bab=a^{2^{n-2}-1}\rangle$

mit $n\geq 4$ erzeugt wird.

Anzahl Elemente

Aus $bab=a^{2^{n-2}-1}$ folgt wegen $b^{2}=1$, dass $ba=a^{2^{n-2}-1}b$. Also kann jedes endliche Produkt der Erzeuger $a$ und $b$ der Quasi-Diedergruppe durch Anwendung dieser Regel auf die Form $a^{i}b^{j}$ gebracht werden. Wegen $a^{2^{n-1}}=b^{2}=1$ folgt:

Die Quasi-Diedergruppe hat 2ⁿ Elemente: $\{1,a,a^{2},\ldots ,a^{2^{n-1}},b,ba,ba^{2},\ldots ,ba^{2^{n-1}}\}$

Beispiel

Die kleinste Quasi-Diedergruppe hat die Ordnung $16$ und wird von zwei Elementen $a$ und $b$ erzeugt, die die Gleichungen $a^{8}=b^{2}=1$ und $bab=a^{3}$ erfüllen. Da $b^{2}=1$, folgt aus der letzten Gleichung nach Rechtsmultiplikation mit $b$, dass $ba=a^{3}b$. Also kann man in einer beliebigen Folge von $a$'s und $b$'s jedes vor einem $a$ stehende $b$ hinter das $a$ bringen, wenn man dieses durch $a^{3}$ ersetzt. Daraus folgt dann, dass alle Elemente dieser Gruppe von der Form $1,a,a^{2},\ldots ,a^{7},b,ab,\ldots ,a^{7}b$ sind. Ferner lassen sich mit obigen Gleichungen sämtliche Multiplikationen in der Gruppe bestimmen. Als Beispiel betrachten wir die beiden Produkte aus $a^{2}$ und $a^{3}b$:

$a^{2}\cdot a^{3}b=a^{5}b$     (denn $a^{2}a^{3}=a^{5}$)

$a^{3}b\cdot a^{2}=a^{3}a^{3}ba=a^{3}a^{3}a^{3}b=a^{9}b=ab$     (zweimal $b$ nach rechts bringen und $a^{8}=1$ verwenden)

Insgesamt erhalten wir die folgende Verknüpfungstafel

$\,\cdot$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,b$	$\,ab$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$
$\,1$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,b$	$\,ab$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$
$\,a$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,1$	$\,ab$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$	$\,b$
$\,a^{2}$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$	$\,b$	$\,ab$
$\,a^{3}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$	$\,b$	$\,ab$	$\,a^{2}b$
$\,a^{4}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$	$\,b$	$\,ab$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$
$\,a^{5}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$	$\,b$	$\,ab$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$
$\,a^{6}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}b$	$\,a^{7}b$	$\,b$	$\,ab$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$
$\,a^{7}$	$\,a^{7}$	$\,1$	$\,a$	$\,a^{2}$	$\,a^{3}$	$\,a^{4}$	$\,a^{5}$	$\,a^{6}$	$\,a^{7}b$	$\,b$	$\,ab$	$\,a^{2}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{5}b$	$\,a^{6}b$
$\,b$	$\,b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}b$	$\,ab$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}b$	$\,1$	$\,a^{3}$	$\,a^{6}$	$\,a$	$\,a^{4}$	$\,a^{7}$	$\,a^{2}$	$\,a^{5}$
$\,ab$	$\,ab$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}b$	$\,b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}b$	$\,a$	$\,a^{4}$	$\,a^{7}$	$\,a^{2}$	$\,a^{5}$	$\,1$	$\,a^{3}$	$\,a^{6}$
$\,a^{2}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}b$	$\,b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}b$	$\,ab$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}$	$\,a^{5}$	$\,1$	$\,a^{3}$	$\,a^{6}$	$\,a$	$\,a^{4}$	$\,a^{7}$
$\,a^{3}b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}b$	$\,ab$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}b$	$\,b$	$\,a^{3}$	$\,a^{6}$	$\,a$	$\,a^{4}$	$\,a^{7}$	$\,a^{2}$	$\,a^{5}$	$\,1$
$\,a^{4}b$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}b$	$\,b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}b$	$\,ab$	$\,a^{4}$	$\,a^{7}$	$\,a^{2}$	$\,a^{5}$	$\,1$	$\,a^{3}$	$\,a^{6}$	$\,a$
$\,a^{5}b$	$\,a^{5}b$	$\,b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}b$	$\,ab$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}$	$\,1$	$\,a^{3}$	$\,a^{6}$	$\,a$	$\,a^{4}$	$\,a^{7}$	$\,a^{2}$
$\,a^{6}b$	$\,a^{6}b$	$\,ab$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}b$	$\,b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}$	$\,a$	$\,a^{4}$	$\,a^{7}$	$\,a^{2}$	$\,a^{5}$	$\,1$	$\,a^{3}$
$\,a^{7}b$	$\,a^{7}b$	$\,a^{2}b$	$\,a^{5}b$	$\,b$	$\,a^{3}b$	$\,a^{6}b$	$\,ab$	$\,a^{4}b$	$\,a^{7}$	$\,a^{2}$	$\,a^{5}$	$\,1$	$\,a^{3}$	$\,a^{6}$	$\,a$	$\,a^{4}$

Siehe auch

• Diedergruppe
• Liste kleiner Gruppen

Literatur

• Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 134, ISSN 0072-7830). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, S. 90–93.