Quasi-Möbiusabbildung

In der metrischen Geometrie verallgemeinern Quasi-Möbiusabbildungen den aus der komplexen Geometrie bekannten Begriff der Möbiusabbildung. Sie kommen insbesondere als Randabbildungen von Quasi-Isometrien Gromov-hyperbolischer Räume vor.

Definition

Eine Abbildung $f\colon X_{1}\to X_{2}$ zwischen metrischen Räumen $(X_{1},d_{1})$ und $(X_{2},d_{2})$ heißt quasi-Möbius, wenn sie das Doppelverhältnis bis auf eine kontrollierte Abweichung erhält, wenn es also eine stetige Bijektion $\eta \colon \left(0,\infty \right)\to \left(0,\infty \right)$ mit

$\left[f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),f(x_{4})\right]\leq \eta (\left[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right])\ \ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in X_{1}$

gibt. Dabei ist das Doppelverhältnis von vier Punkten in einem metrischen Raum $(X,d)$ definiert durch $\left[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right]={\frac {d(x_{1},x_{3})d(x_{2},x_{4})}{d(x_{1},x_{4})d(x_{2},x_{3})}}$.

Wenn sogar

$\left[f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),f(x_{4})\right]=\left[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right]\ \ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in X_{1}$

gilt, dann spricht man (in Verallgemeinerung des Begriffes aus der komplexen Geometrie) von einer Möbiusabbildung.

Eigenschaften

Vertauschen von $x_{1}$ und $x_{2}$ ergibt die umgekehrte Ungleichung (mit einer anderen Funktion $\eta$). Daraus folgt, dass das Inverse einer Quasi-Möbiusabbildung wieder eine Quasi-Möbiusabbildung ist. Weiterhin ist die Verknüpfung zweier Quasi-Möbiusaabbildungen eine Quasi-Möbiusabbildung.

Quasi-Möbiusabbildungen sind quasikonform. Die Umkehrung gilt in Loewner-Räumen.

Satz von Efremowitsch-Tichomirowa

Jede Quasi-Isometrie $f\colon X\to Y$ zwischen $\delta$-hyperbolischen Räumen lässt sich zu einem Homöomorphismus der Ränder im Unendlichen $\partial _{\infty }f\colon \partial _{\infty }X\to \partial _{\infty }Y$ fortsetzen, der eine Quasi-Möbiusabbildung ist.

Dieser Satz hat eine Umkehrung für nicht-entartete $\delta$-hyperbolische Räume, d. h. wenn es eine Konstante $C$ gibt, so dass jeder Punkt im Abstand höchstens $C$ aller drei Seiten eines Dreiecks liegt. Unter dieser Voraussetzung lässt sich jeder Quasi-Möbius-Homöomorphismus $\partial _{\infty }f\colon \partial _{\infty }X\to \partial _{\infty }Y$ zu einer Quasi-Isometrie $f\colon X\to Y$ fortsetzen.

Literatur

• J. Väisälä: Quasi-Möbius maps, J. Anal. Math. 44, 218-234 (1984/85)
• V. Efremovich, E. Tichomirova: Epimorphisms of hyperbolic spaces, Izv. Ac. Nauk. 28, 1139-1144 (1964)
• F. Paulin: Un groupe hyperbolique est déterminé par son bord, J. Lond. Math. Soc. 54, 50-74 (1996)
• M. Bonk, O. Schramm: Embeddings of Gromov-hyperbolic spaces, Geom. Func. Anal. 10, 266-306 (2000)