Quasi-Newton-Verfahren

mathematisches Verfahren

Quasi-Newton-Verfahren sind eine Klasse von numerischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Minimierungsprobleme. Die Verfahren basieren auf dem Newton-Verfahren, berechnen die Inverse der Hesse-Matrix jedoch nicht direkt, sondern nähern sie lediglich an, um den Rechenaufwand pro Iteration zu verkleinern.

Der erste Algorithmus wurde Mitte der 1950er Jahre von William Davidon, einem Physiker am Argonne National Laboratory, entwickelt. Die bekanntesten Algorithmen sind Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS), benannt nach Roger Fletcher, Donald Goldfarb, David F. Shanno, Charles George Broyden, und Davidon-Fletcher-Powell (DFP) (nach Fletcher, Davidon und Michael J. D. Powell).

Grundlegender Algorithmus

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Eine zweifach differenzierbare Funktion   wird mit einer Taylor-Entwicklung an der Stelle   bis zum zweiten Grad angenähert.

 

Die Ableitung der Funktion   muss für ein Minimum null ergeben. Daraus folgt:

 

Falls die Hesse-Matrix   positiv definit ist, so handelt es sich bei besagter Nullstelle der Ableitung von   tatsächlich um ein Minimum von   und dieses lässt sich mit dem Newton-Verfahren iterativ annähern:

 

Problematisch ist hier, dass die Inverse der Hesse-Matrix berechnet und diese positiv definit sein muss. Das Quasi-Newton-Verfahren ersetzt   durch einen Skalar   und eine Matrix  

 

Die Ableitungs-Gleichung von oben ergibt umgeformt für   und  

 
 

Daraus lässt sich ein Differenzterm   definieren:

 
 

Man nimmt nun an, dass die Hesse-Matrix für   und   in etwa gleich sind, also   und folgert daraus:

 
 

Für   wählt man einen Korrekturterm der Form  :

 
 

Die Gleichung lässt sich umstellen, so dass

 

Somit gilt

 
 

So lässt sich die Matrix   eindeutig bestimmen, jedoch ist diese mit nur einem Korrekturterm nicht immer positiv definit.

Davidon-Fletcher-Powell (DFP)

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Die Matrix   wird mit der Matrix   und zwei Korrekturtermen approximiert:

 

Eigenschaften

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Falls   eine quadratische Funktion ist, liefert der Algorithmus bei exakter Arithmetik nach einer endlichen Anzahl an Iterationen die exakte Lösung. Für alle anderen Funktionen gilt

 

Bei einer quadratischen Funktion mit   Parametern wird idealerweise sogar in   Schritten die Lösung erreicht. In der Praxis benötigt man etwas mehr Iterationen, z. B. wenn die lineare Schrittweitensuche nicht genau genug durchgeführt wird oder die Gradienten nicht genau genug ermittelt werden. Meist stoppt man die Optimierung, wenn z. B. der Gradient sehr klein ist oder eine bestimmte Anzahl von Iterationen erreicht wird.

Reguläre Quasi-Newton-Verfahren

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Der Versuch eine Übersicht über die verschiedenen Ansätze der Quasi Newtion Verfahren zu verfassen, wurde 1985 in dem Artikel "Reguläre Quasi-Newton-Verfahren" gemacht. Hier konnte eine umfassende Klasse dieser Verfahren, eine Darstellung aller Rang 1 - Formeln der sogenannten symmetrischen, novellierten Huang-Klasse entwickelt werden, die die bekannten Verfahren wie das Davidon-Fletcher-Powell (DFP), das Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) und Self-Scaling-Variable-Metric (SSVM) Verfahren beinhaltet. Auch sind dort Vorschläge für eine weitere Optimierung des Lösungsverhaltens von Quasi-Newton-Verfahren gegeben. Dabei wurde folgende Klasse von regulären (d. h. wegen besonderer Eigenschaften bevorzugt zu benutzender) Quasi-Newton-Aufdatierungsformeln konstruiert:

 

mit

 
  positiv definit;  
 
 .

Für genäherte, hinreichend exakte Strahlminimierung, positiv definites   und beliebiges   gilt für diese regulären Verfahren, die aus der obigen Formel entstehen:

1) Die Verfahren sind Quasi-Newton-Verfahren.

2) Die Matrizen   sind für alle Iterationen positiv definit. Damit gilt

  für alle Iterationen.

3) Für alle Iterationen   erhalten wir Lösungen des Minimierungsproblems.

Für exakte Strahlminimierung und quadratische Zielfunktion bricht zudem jedes dieser Verfahren nach höchstens n Iterationsschritten im Minimalpunkt ab. Insbesondere besitzen also die regulären Quasi - Newton -Verfahren die guten Eigenschaften sowohl der erweiterten Greenstadt-Klasse als auch der symmetrischen, erweiterten Huang-Klasse bzgl. Konvergenz und Stabilität.

Es kann vermutet werden, dass alle besonders leistungsfähigen Quasi-Newton-Verfahren regulär sind.

Literatur

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  • William C. Davidon, Variable Metric Method for Minimization, SIOPT Volume 1 Issue 1, Pages 1-17, 1991 (zuerst als Argonne National Laboratory Report 1959).
  • Jorge Nocedal und Stephen J. Wright: Numerical Optimization, Springer-Verlag, 1999, ISBN 0-387-98793-2.
  • Edwin K.P. Chong and Stanislaw H.Zak: An Introduction to Optimization, 2ed, John Wiley & Sons Pte. Ltd. August 2001.
  • P. Gill, W. Murray und M. Wright: Practical Optimization, 1981
  • Guido Bacharach und Gerhard Freiling: "Reguläre Quasi-Newton-Verfahren", Universität Duisburg, 1985