Sind und zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von nach . Ähnlich wie Abbildungen von Varietäten Homomorphismen der Koordinatenringe entsprechen, entsprechen rationale Abbildungen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.

Rationale Abbildungen werden benötigt zur Definition der birationalen Äquivalenz, ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten.

Definitionen

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Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten

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Im Folgenden sei   eine irreduzible affine Varietät mit Koordinatenring  . Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich,   bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus   werden als rationale Funktionen auf   bezeichnet.

Ist   und  , so wird   regulär in   genannt, wenn   existieren mit:

 
 

Ist  , so wird die Menge der Elemente, in denen   regulär ist, als Definitionsbereich von  , als  , bezeichnet.

Rationale Abbildungen von Varietäten

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  bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Seien   und   Varietäten über einem Körper  . Eine rationale Abbildung von   nach   ist ein Tupel

 

mit   und   für alle  

Die Abbildung heißt in   regulär, falls alle   in   regulär sind. Der Definitionsbereich von   ist

 

Eine rationale Abbildung von   nach   ist also nicht auf ganz   definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge  .

Daher werden sie auch mit einem gestrichelten Pfeil notiert:

 

Dominante rationale Abbildungen

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Rationale Abbildungen können nicht immer miteinander verkettet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

 
 
 
  also  

denn

 

Eine Verkettung ist hingegen immer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:

Eine rationale Abbildung

 

heißt dominant, wenn   eine in   dichte Menge ist.

Birationale Abbildungen

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Eine birationale Abbildung

 

ist eine rationale Abbildung, zu der es eine rationale Abbildung

 

gibt mit

 

und

 

Die Varietäten werden dann als birational äquivalent genannt.

Zusammenhang mit Körperhomomorphismen

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Sei

 
 

eine rationale Abbildung.   sei durch das Ideal   definiert. Wegen

 

gilt für alle  

 

Ist also

  also  

so ist   wohldefiniert. Eine rationale Abbildung   induziert daher eine Abbildung

 

Ist

 

so ist das äquivalent zu

 

Ist   dominant, so muss in diesem Fall   sein, da keine Funktion auf einer dichten Menge verschwinden kann. Es gilt daher:

  ist injektiv   ist dominant.

In diesem Fall induziert   einen  -linearen Körperhomomorphismus

 

Umgekehrt lässt sich zu jedem  -linearen Körperhomomorphismus

 

eine (dadurch eindeutig bestimmte) dominante rationale Abbildung

 

finden mit

 

Es lässt sich sogar zeigen, dass die Sternabbildung   ein kontravarianter Funktor ist, der eine Äquivalenz zwischen bestimmten Kategorien herstellt.

Verallgemeinerungen

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Obige Definition lässt sich auf quasiaffine, quasiprojektive und projektive Varietäten durch Äquivalenzklassen verallgemeinern. Seien nun   und   affine, quasiaffine, quasiprojektive oder projektive Varietäten.

Sind   offene Mengen und   und   Morphismen von   beziehungsweise   nach  .

Die Äquivalenzrelation wird folgendermaßen definiert:   ist äquivalent zu  , wenn   und   auf   übereinstimmen.

Eine rationale Abbildung

 

ist nun eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Äquivalenzrelation.

Eine rationale Abbildung wird dominant genannt, wenn ein (und damit jeder) Repräsentant   ein dichtes Bild hat.

Beispiele

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Neilsche Parabel

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Sei   die Neilsche Parabel, die durch das Polynom

 

definiert ist. Der Morphismus

 
 

ist bijektiv, aber kein Isomorphismus, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist. Auf   lässt sich durch

 

eine rationale Abbildung definieren mit

 

für die gilt:

  und  .

Die beiden Varietäten sind daher birational äquivalent.

Projektion im projektiven Raum

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Die Projektion

 
 

ist eine rationale Abbildung. Sie ist für n > 1 nur im Punkt

 

nicht regulär.

Ist n = 1, so scheint die Abbildung im Punkt

 

nicht regulär zu sein, denn nach Definition ist

 

und

 

Aber die Abbildung lässt sich in diesem Punkt fortsetzen, die Abbildung kann nämlich auch geschrieben werden als

 

Allgemein ist jede rationale Abbildung von einer glatten Kurve in einen projektiven Raum ein Morphismus.

Literatur

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