In der algebraischen Geometrie ist eine reguläre Funktion eine Funktion von einer Varietät in ihren Körper. Der Ring der regulären Funktionen kann auf jeder offenen Menge der Varietät definiert werden. Diese Ringe bilden eine Garbe. Der Ring der Funktionen, die auf der ganzen Varietät regulär sind, nennt man den Koordinatenring. Reguläre Funktionen werden unter anderem gebraucht, um Morphismen von Varietäten zu definieren. Reguläre Funktionen sind nicht zu verwechseln mit regulären Abbildungen, womit manchmal in der Literatur auch Morphismen von Varietäten bezeichnet werden.

Daneben gibt es den Begriff reguläre Funktion auch in der Funktionentheorie, wo er holomorphe Funktionen bezeichnet, die nicht singulär sind.

Reguläre Funktionen

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Ist   (oder  ) eine quasi-affine (oder quasi-projektive) Varietät, so ist eine Funktion   regulär in einem Punkt  , wenn es eine (bezüglich der Zariski-Topologie) offene Umgebung   von   und (homogene) Polynome   (  vom selben Grad) gibt, sodass   keine Nullstellen auf   hat und   auf   durch   gegeben ist, d. h.  .

Bemerke, dass im projektiven Fall   eine wohldefinierte Funktion ist, da   und   homogen und vom gleichen Grad sind.

Ist   eine quasi-affine (oder quasi-projektive) Varietät, so ist eine Funktion   regulär, wenn sie auf jedem Punkt in   regulär ist.

Wird der Körper   mit dem affinen Raum   identifiziert, so ist eine reguläre Funktion stetig in der Zariski-Topologie.

Eine wichtige Folgerung daraus ergibt sich für irreduzible Varietäten: Sind   und   reguläre Funktionen auf   und gibt es eine nichtleere, offene Menge  , auf der   und   übereinstimmen, so stimmen   und   auf   überein. Denn die Menge aller Punkte, auf der   ist, ist nicht leer, abgeschlossen und dicht.

Die Garbe der regulären Funktionen und der Koordinatenring

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Für jede offene Menge   bildet die Menge der regulären Funktionen auf   einen Ring, der mit   bezeichnet wird. Diese Ringe bilden eine Prägarbe. Da die regulären Funktionen durch lokale Eigenschaften definiert sind, bilden sie sogar eine Garbe. Diese Garbe steht in enger Beziehung zu dem affinen Schema der Varietät. Den Ring der Funktionen, die auf der gesamten Varietät regulär sind, nennt man Koordinatenring  . Er ist isomorph zu  . Dabei ist   das Verschwindeideal von  , also das Ideal der Polynome, die in jedem Punkt von   Null sind.

Der Koordinatenring   ist ein Integritätsbereich und eine endlich erzeugte  -Algebra.

Der lokale Ring eines Punktes

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Der lokale Ring eines Punktes ist der Ring der Keime von regulären Funktionen. Dieser Ring wird mit   oder nur   bezeichnet. Dieser Ring besteht also aus Äquivalenzklassen von   mit  , wobei   äquivalent zu   ist, wenn   und   auf   übereinstimmen. Dieser Ring ist ein lokaler Ring, sein maximales Ideal besteht aus den Keimen, die in   verschwinden.

Literatur

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