Regulärer G-Raum

In der Mathematik bezeichnet man gewisse G-Räume (Räume mit Gruppenwirkung) als reguläre G-Räume.

Definition

Sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, und sei $S$ ein Standard-Borel-Raum. Die Gruppe wirke durch messbare Abbildungen und erhalte die Klasse eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $\mu$. Man erhält dann eine isometrische Wirkung $R$ von $G$ auf $L^{1}(S,\mu )$ durch

$(R(g)\cdot f)(s)=f(g^{-1}\cdot s){\frac {d(g^{-1}\mu )}{d\mu }}(s),$

wobei ${\frac {d(g^{-1}\mu )}{d\mu }}$ die Radon-Nikodym-Ableitung bezeichnet. Der $G$-Raum $S$ heißt regulär, wenn $R$ eine stetige Wirkung ist.

Beispiele

Sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Dann sind die folgenden Beispiele reguläre G-Räume.

• $G$ mit dem Haar-Maß und der Wirkung durch Konjugation auf sich,
• $G/Q$ mit dem natürlichen fast-invarianten Maß für eine abgeschlossene Untergruppe $Q\subset G$,
• der Furstenberg-Rand für ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $G$.

Literatur

• N. Monod: Continuous bounded cohomology of locally compact groups, Lecture Notes in Mathematics 1758, Springer-Verlag, Berlin 2001.