Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Folgerung aus der Lorentztransformation für gegeneinander bewegte Inertialsysteme

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten besagt, wie die Geschwindigkeit eines Objekts in einem bestimmten Bezugssystem zu bestimmen ist, wenn sich das Objekt mit einer Geschwindigkeit gegenüber einem zweiten Bezugssystem bewegt, das sich selbst gegenüber dem ersten mit einer Geschwindigkeit bewegt. Das Theorem kann aus der Lorentztransformation für gegeneinander bewegte Inertialsysteme hergeleitet werden.

In der klassischen Mechanik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert () und haben daher keine obere Schranke. Da aber nach der speziellen Relativitätstheorie die Geschwindigkeit eines Objekts die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreiten kann, können die klassischen Gleichungen nur eine Näherung sein. Unterschiede machen sich bemerkbar, wenn eine oder beide der zu addierenden Geschwindigkeiten nicht mehr vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind.

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten ist durch Messungen bestätigt worden.

Definition

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Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindig­keiten   und  
jeweils ausgedrückt in Bruchteilen der Licht­geschwindigkeit   Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindig­keit   in Schritten von 0,1 c bis 0,9 c, dann 0,95 c, 0,98 c und 0,99 c. Ablesen kann man den Wert von   also an den Endpunkten der Konturlinien auf einer der Achsen. Je größer die beiden Ausgangs­geschwindig­keiten, desto stärker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab (die einer geraden Linie entspräche). Die resultierende Geschwindigkeit wird die Licht­geschwin­dig­keit niemals überschreiten. Zum Beispiel addieren sich 0,8 c und 0,625 c zu 0,95 c.

Ein Beobachter   bewege sich gegenüber dem Beobachter   mit der Geschwindigkeit   in Richtung der  -Achse. Für den Beobachter   bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u'   Dann hat dieser Körper für den Beobachter   die Geschwindigkeit   mit den Komponenten

 
 
 

mit

 

Koordinatenfrei ausgedrückt: Die resultierende Geschwindigkeit   ergibt sich, ausgehend von der galileischen einfachen Addition   der Geschwindigkeiten   und  , mit den folgenden Modifikationen:

  • Die Geschwindigkeit   ist um den Faktor   kleiner.
  • Die Komponenten der Geschwindigkeit   senkrecht zu   sind zusätzlich um den Faktor   kleiner.

Interpretation

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Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit

 

so unterscheidet sich der Nenner (und auch der Term unter der Wurzel im Zähler) kaum von 1

 

und es ergibt sich in guter Näherung die klassische nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition:

 

Beispiel: In einem mit   fahrenden Zug   läuft eine Person mit   relativ zum Zug in Fahrtrichtung. Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter   gemessene Geschwindigkeit   der Person ist gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen  . Zum Vergleich: Der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0,1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde. Dies ist bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km in den meisten Fällen vernachlässigbar, zumal das häufig übersehene Gesetz der gültigen Ziffern die Zahl der signifikanten Stellen begrenzt.

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel, vgl. die folgenden Beispiele.

Folgerungen

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Als Folge des Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

1. Beispiel

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Es seien

  und  

Dann ist

 

und nicht etwa 1,5c.

2. Beispiel

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Ist die Geschwindigkeit   für den Beobachter   gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter  

Sind zum Beispiel

 

dann ergeben sich

 

Damit folgt

 

Herleitung

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Um das Formelbild zu vereinfachen, werden alle Geschwindigkeiten als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten angegeben. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt  

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von   durch - )

 

folgt für die Differentiale, da die Transformation linear ist,

 

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter   ermittelt,

 
 
 

Aufgelöst nach den gestrichenen Variablen ergeben sich folgende Beziehungen:

 
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Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien