In der Mathematik im Teilgebiet der Differentialgeometrie ist das Reperbündel[1] beziehungsweise das Rahmenbündel[2] ein Hauptfaserbündel, das einem Vektorbündel zugeordnet ist. Grob gesagt entspricht das Reperbündel der Menge aller Basen des zugeordneten Vektorbündeln. Die Elemente eines Reperbündels werden als Reper[3] bzw. Rahmen[4] bezeichnet. Von besonderem Interesse ist das Reperbündel, das dem Tangentialbündel einer glatten Mannigfaltigkeit zugeordnet wird.[5]

Präziser ausgedrückt ist die Faser eines Reperbündels die Menge aller geordneten Basen. Somit operiert die allgemeine lineare Gruppe auf einem Reperbündel mittels Basiswechsel, wodurch das Reperbündel die Struktur eines -Hauptfaserbündels erhält.

Auf einem Prähilbertraum, also einem Vektorraum mit Skalarprodukt, ist der Begriff der Orthonormalbasis definiert. Entsprechend kann man einem Vektorbündel mit einer Fasermetrik ein orthonormales Reperbündel (bzw. Rahmenbündel) zuordnen, die Elemente des Raums heißen dann orthonormale Reper.[6]

Definition

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Es sei   ein Vektorbündel des Rangs   über dem topologischen Raum  . Mit   wird im Folgenden das Vektorbündel bezeichnet, dessen Faser über dem Punkt   dem Raum aller invertierbaren linearen Abbildungen von   nach   entspricht. Das Vektorbündel   ist ein Hauptfaserbündel bezüglich der allgemeinen linearen Gruppe   und der Gruppenaktion   mit  ,   und  . Außerdem ist   natürlich isomorph zu dem zu   bezüglich der Gruppe   assoziierten Bündel. Das heißt also  .

Das konstruierte Hauptfaserbündel   mit den zuvor genannten Eigenschaften wird Reperbündel genannt. Die Elemente eines Reperbündels werden als Reper bezeichnet.[7][8][9]

Orthogonales Reperbündel

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Sei nun   ein Vektorbündel mit einer Metrik, so dass die Fasern des Bündels ein Prähilbertraum sind. Dann können auch orthonormale Basen auf den Prähilberträumen betrachtet werden.

Ein orthonormales Reperbündel von   ist dann die Menge aller orthonormalen Vektorraumbasen über jedem Punkt   des Basisraums  . Das orthonormale Reperbündel kann auch analog zu dem gewöhnlichen Reperbündel als zu dem zu   bezüglich der orthogonalen Gruppe   assoziierten Bündel definiert werden. Es gilt also  , wobei   also das Vektorbündel ist, dessen Fasern die Menge alle geordneten orthonormalen Basen ist.[10]

Somit ist auch das orthonormale Reperbündel ein Hauptfaserbündel mit der orthogonalen Gruppe   als Strukturgruppe.[11][8]

Literatur

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  • L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León: Differential Geometry of Frame Bundles. Springer Science & Business Media, 1988, ISBN 0-7923-0012-2.

Einzelnachweise

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  1. Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik: Leitmotiv der Mathematischen Physik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-89928-6, S. 252, 254 (google.de [abgerufen am 29. Dezember 2023]).
  2. Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 386–387.
  3. R. Sulanke, P. Wintgen: Differentialgeometrie und Faserbündel. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-0348-5949-3, S. 81 (google.de [abgerufen am 29. Dezember 2023]).
  4. Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 375.
  5. Helga Baum: Eichfeldtheorie: Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-38293-5, S. 82 (google.de [abgerufen am 29. Dezember 2023]).
  6. Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 454.
  7. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 14–15.
  8. a b Gerard Walschap: Metric Structures in Differential Geometry. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-0-387-21826-7, S. 62–64.
  9. Clifford Taubes: Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature. OUP Oxford, 2011, ISBN 978-0-19-960588-0, S. 106–107.
  10. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 30.
  11. L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León: Differential Geometry of Frame Bundles. Springer Science & Business Media, 1988, ISBN 0-7923-0012-2, S. 122 ff.