Replika-Trick

mathematischer Lösungsansatz

Der Replika-Trick ist ein mathematischer Trick, der insbesondere in der Statistischen Mechanik bzw. Statistischen Physik dazu verwendet wird, Zustandssummen, oder genauer gesagt den Logarithmus der Zustandssumme und damit die Freie Energie zu berechnen, wenn die direkte Bestimmung deutlich schwieriger oder unmöglich ist. Er wurde in der statistischen Mechanik zuerst von Mark Kac genutzt und 1975 von Edwards und Anderson, Grinstein und Luther, sowie Emery im Zusammenhang mit dem sog. Spinglas-Problem unabhängig wiederentdeckt. Er basiert auf der mathematischen Identität

wobei die Zustandssumme und die Anzahl der identischen Systeme (Replikas) bezeichnet. ist dann die Zustandssumme der Replikas, und es interessiert der Limes . Der Strich bezeichnet den Mittelwert über die statistische Unordnung. Anhand der Gewichtung der Replikas unterscheidet man zwischen replika-symmetrischen Lösungen, bei denen alle Replikas eine symmetrische Rolle spielen, und Fällen, in denen Replika-Symmetrie-Brechung (RSB) auftritt.

Anwendungen in der Spinglas-Theorie

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Der Trick wird besonders in der Spinglas-Theorie verwendet, wobei sich besonders der Italiener Giorgio Parisi durch eine grundlegende, in hierarchischer Weise die Replika-Symmetrie brechende mathematische Lösung hervorgetan hat.[1]

Mathematisches

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Es existiert kein allgemeiner Satz über die mathematische Korrektheit der Methode, sodass man auf konkrete Vergleiche mit exakten Resultaten angewiesen ist, die auf komplizierterem Wege mit anderen Methoden gewonnen wurde. Wenn allerdings die Funktion   von der Punktmenge   zu einer komplex-analytischen Funktion erweitert werden kann, die in einer den Punkt   einschließenden offenen Umgebung   von   definiert ist, dann wird diese Funktion nach einem Satz der Funktionentheorie durch die Werte auf   vollständig bestimmt,[2] weil die besagte Menge bei   einen Häufungspunkt hat. Auch alle Ableitungen bei   sind in diesem Fall vollständig bestimmt. Es geht hier sowohl das Verhalten bei 0 und indirekt auch das Verhalten bei   ein.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Giorgio Parisi: On the replica approach to spin glasses. arxiv:cond-mat/9412004, Vortrag gehalten im Februar 1994.
  2. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Springer-Verlag, Berlin 1976, ISBN 3-540-07768-5.