Reproduktivitätseigenschaft

Die Reproduktivitätseigenschaft einer Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen besagt, dass die Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit Verteilungen aus dieser Familie eine Verteilung aus derselben Familie besitzt.

Reproduktiv in diesem Sinn sind etwa die Normalverteilungen, die Poisson-Verteilungen, die Gammaverteilungen, die Chi-Quadrat-Verteilungen und die Cauchy-Verteilungen. Eine mit Reproduktivität zusammenhängende Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit. Für eine Diskussion der Unterschiede siehe dort.

Beispiel

Sind die reellen Zufallsvariablen $X_{1}$ und $X_{2}$ stochastisch unabhängig und normalverteilt mit

$X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})\quad {\text{und}}\quad X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$,

so ist die Zufallsvariable $Y=X_{1}+X_{2}$ ebenfalls normalverteilt mit

$Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})$.

Allgemein gilt: Aus $X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\quad i=1,\ldots ,k$ stochastisch unabhängig folgt:

$\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\mu _{i},\sum \limits _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\right)$.

Mehrere Parameter

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel $X_{n},X_{m}$ binomialverteilt mit Parametern $n,m$ und $p$, also $X_{n}\sim B_{n,p}$ und $X_{m}\sim B_{m,p}$, so ist $(X_{n}+X_{m})\sim B_{n+m,p}$. Für festes $p$ ist also die Binomialverteilung $B_{n,p}$ reproduktiv bezüglich $n$. Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

Literatur

• Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2006. ISBN 978-3-540-27787-3.