Reproduktivitätseigenschaft

Begriff aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Reproduktivitätseigenschaft einer Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen besagt, dass die Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit Verteilungen aus dieser Familie eine Verteilung aus derselben Familie besitzt.[1]

Reproduktiv in diesem Sinn sind etwa die Normalverteilungen, die Poisson-Verteilungen, die Gammaverteilungen, die Chi-Quadrat-Verteilungen und die Cauchy-Verteilungen. Eine mit Reproduktivität zusammenhängende Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit. Für eine Diskussion der Unterschiede siehe dort.

Beispiel

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Sind die reellen Zufallsvariablen   und   stochastisch unabhängig und normalverteilt mit

 ,

so ist die Zufallsvariable   ebenfalls normalverteilt mit

 .

Allgemein gilt: Aus   stochastisch unabhängig folgt:[2]

 .

Mehrere Parameter

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Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel   binomialverteilt mit Parametern   und  , also   und  , so ist  . Für festes   ist also die Binomialverteilung   reproduktiv bezüglich  . Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

Literatur

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  • Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2006. ISBN 978-3-540-27787-3.

Einzelnachweise

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  1. Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 149.
  2. Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 151.