Residuum (numerische Mathematik)

Begriff der Numerischen Mathematik

Als Residuum bezeichnet man in der numerischen Mathematik die Abweichung vom gewünschten Ergebnis, welche entsteht, wenn in eine Gleichung Näherungslösungen eingesetzt werden. Angenommen, es sei eine Funktion gegeben und man möchte ein finden, so dass

Mit einer Näherung an ist das Residuum

Der Fehler zur Lösung hingegen ist

Der Fehler ist in der Regel unbekannt, da unbekannt ist, weswegen dieser als Abbruchkriterium in einem numerischen Verfahren nicht benutzbar ist. Das Residuum hingegen hängt nur von ab.

Wenn das Residuum klein ist, folgt in vielen Fällen, dass der Fehler auch klein ist, also die Näherung nahe bei der Lösung liegt, das heißt der relative Fehler ist

In diesen Fällen wird die zu lösende Gleichung als gut gestellt angesehen und das Residuum kann als Maß der Abweichung der Näherung von der exakten Lösung betrachtet werden. Bei linearen Gleichungssystemen, also , können sich die Norm des relativen Fehlers und die Norm des relativen Residuums um den Faktor der Kondition unterscheiden:

Residuum einer Operatorgleichung

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Analog wird der Begriff des Residuums für Differential-, Integral- und Funktionalgleichungen verwendet, bei denen anstelle einer Zahl eine Funktion   gesucht ist, die eine Operatorgleichung

 

für alle Werte   erfüllt. Für eine Approximation   an   ist das Residuum die Funktion

 

Als Maß für die Güte der Approximation kann dann zum Beispiel das Maximum des Residuums

 

oder auch das gemittelte Residuum

 

gewählt werden.

Literatur

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  • C. T. Kelley: Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. SIAM, ISBN 0-89871-352-8.
  • R. Schaback, H. Wendland: Numerische Mathematik. 5. Auflage, Springer, 2005.