Resolvente

mathematische Funktion

In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte , für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Definition

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Für einen linearen Operator   (oder auch eine Matrix  ) definiert man die Resolventenmenge   als das Komplement des Spektrums von  , d. h. als die Menge aller komplexen Zahlen  , für die der Operator   beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

 

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente  , was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Eigenschaften und Anwendungen

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Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf  , wobei   der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

 .

Die Resolvente wird u. a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

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Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus   folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

 

und aus   folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

 

Literatur

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