Resolvente

mathematische Funktion
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In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte , für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Definition

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Für einen linearen Operator   (oder auch eine Matrix  ) definiert man die Resolventenmenge   als das Komplement des Spektrums von  , d. h. als die Menge aller komplexen Zahlen  , für die der Operator   beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

 

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente  , was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Eigenschaften und Anwendungen

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Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf  , wobei   der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

 .

Die Resolvente wird u. a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

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Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus   folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

 

und aus   folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

 

Literatur

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