Restriktion und Erweiterung der Skalare

Die Restriktion der Skalare und die Erweiterung der Skalare sind zwei Methoden aus der Algebra, die es ermöglichen, den Ring eines Moduls zu ändern, das heißt ein -Modul wird in ein -Modul mittels eines Ringhomomorphismus transformiert und aus einem -Modul wird ein -Modul.

Aus kategorientheoretischer Sicht handelt sich um einen links- und rechtsadjungierten Funktor zwischen den Kategorien der -Moduln und -Moduln.

In der algebraischen Geometrie wird oft die Weil-Restriktion als Restriktion der Skalare bezeichnet.

Definition

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Betrachte einen Ringhomomorphismus  .

Restriktion der Skalare

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Sei   ein (linkes)  -Modul. Dann ist   auch ein  -Modul durch die Wirkung  

 

Man sagt, der  -Modul entstand durch Restriktion der Skalare. Wiederum definiert   die Struktur eines  -Moduls auf   mit[1]

 .

Als Funktor

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Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der  -Moduln und  -Moduln

 

wird Restriktion der Skalare genannt.

Erweiterung der Skalare

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Sei   nun ein  -Modul. Da   auch ein  -Modul ist, ist auch das Tensorprodukt

 

ein  -Modul.   ist aber auch ein  -Modul durch die Wirkung  

 

Man sagt, der  -Modul entstand durch Erweiterung der Skalare.[2]

Als Funktor

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Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der  -Moduln und  -Moduln

 

wird Erweiterung der Skalare genannt.[3]

Einzelnachweise

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  1. Michael Francis Atiyah und Ian G. Macdonald: Introduction To Commutative Algebra. Hrsg.: CRC Press. S. 27.
  2. Michael Francis Atiyah und Ian G. Macdonald: Introduction To Commutative Algebra. Hrsg.: CRC Press. S. 28.
  3. nLab authors: restriction of scalars. 2022, abgerufen am 14. Oktober 2022.