Retardiertes Potential

Das retardierte Potential (deutsch: verzögertes Potential) ist die Bezeichnung für die mathematische Form des Potentials in der elektromagnetischen Feldtheorie oder anderen Feldtheorien, in denen sich Änderungen des Feldes mit endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) und nicht instantan ausbreiten. Es tritt bei der Untersuchung zeitabhängiger Probleme auf, zum Beispiel bei der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.

Dagegen werden in der Elektrostatik, der Magnetostatik und der Newtonschen Gravitationstheorie Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.

Mathematische Formulierung

Mathematisch ist das Potential $\,u(x,t)$ die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

${\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u=\Box u(t,\mathbf {x} )=v(t,x_{1},x_{2},x_{3})$,

wobei $\Delta =\nabla ^{2}$ für den Laplace-Operator, $\Box$ für den D’Alembert-Operator, $c$ für die Wellengeschwindigkeit und auf der rechten Seite $\,v(t,\mathbf {x} )$ für einen Quellenterm stehen.

Die Lösung

$u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}$

heißt retardiertes Potential. Sie hängt am Ort $\mathbf {x}$ zur Zeit $t$ nur von der Inhomogenität $v$ auf dem Rückwärtslichtkegel von $\mathbf {x}$ ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet (daher der Name) mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

$u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t+{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}$

heißt entsprechend avanciertes Potential. Dies beschreibt zum Beispiel eine Senke, die ein bestehendes Feld absorbiert.

Mit retardiertem und avanciertem Potential lassen sich somit Emission und Absorption von Feldern beschreiben.

Anwendungsbeispiele

In der Elektrodynamik müssen retardierte Potentiale zum Beispiel in Form der Liénard-Wiechert-Potentiale bei der Erzeugung von Synchrotronstrahlung berücksichtigt werden.

In der Gravitation gibt es Anwendungsbeispiele zur Berechnung von Abweichungen bei Umlaufbahnen von Satelliten, Monden oder Planeten. Die Anomalien bei den Rotationskurven von mehr als einhundert Spiralgalaxien verschiedener Typen konnten ebenfalls erklärt werden. Hierzu wurden die Daten der „SPARC (Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves) Galaxy collection“ verwendet, die mit dem Spitzer-Weltraumteleskop aufgenommen wurden. Für die Erklärung der Beobachtungen ist auf diese Weise weder die Annahme von dunkler Materie noch eine Modifikation der allgemeinen Relativitätstheorie erforderlich. In noch größeren Maßstäben ergeben sich durch die retardiert wirkenden Graviationspotentiale Effekte wie eine beschleunigte Expansion, die zu einem isotropen, aber nicht homogenen Universum mit einer äußeren Hülle aus dunkler Materie mit einer erhöhten Massendichte sowie zu einer deutlichen gravitativen Rotverschiebung von weit entfernten astronomischen Objekten führt.

Literatur

• Richard Courant und David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Band 2. zweite Auflage, Springer Verlag, 1968

Weblinks

• Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik (PDF; 1,9 MB), Kapitel 18