Ricci-Soliton

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Ricci-Solitonen eine Klasse Riemannscher Mannigfaltigkeiten, zu denen insbesondere die Einstein-Mannigfaltigkeiten gehören.

Definition

Eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ ist ein Ricci-Soliton, wenn es ein Vektorfeld $V$ mit Lie-Ableitung ${\mathcal {L}}_{V}$ gibt, so dass für die Ricci-Krümmung die punktweise Gleichung

$Ric(g)=\lambda g-{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{V}g$

mit einer Konstanten $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt. (Insbesondere erhält man für $V=0$ die Einstein-Mannigfaltigkeiten.)

Wenn $V$ ein Gradientenfeld $V=\nabla f$ für eine Funktion $f\colon M\to \mathbb {R}$ ist, heißt $(M,g)$ ein Gradienten-Ricci-Soliton. In diesem Fall gilt

$Ric(g)=\lambda g-\nabla ^{2}f$.

Selbstähnliche Lösungen des Ricci-Flusses

Ein Ricci-Soliton $(M,g_{0})$ gibt eine selbstähnliche Lösung $g_{t}$ des Ricci-Flusses $\partial _{t}g_{t}=-2Ric(g_{t})$ wie folgt.

Setze $\sigma (t):=1-2\lambda t$ und $X(t):={\tfrac {1}{\sigma (t)}}V$. Der Fluss des Vektorfelds $X(t)$ definiert eine 1-Parameter-Familie von Diffeomorphismen $\Phi _{t}$ und man definiert

$g_{t}:=\sigma (t)\Phi _{t}^{*}(g_{0})$,

was eine Lösung des Ricci-Flusses ist. Für $\lambda <0$ ist es eine expandierende Lösung, für $\lambda =0$ eine beständige und für $\lambda >0$ eine schrumpfende Lösung.

Literatur

• Bennett Chow, Peng Lu, Lei Ni: Hamilton's Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics 77, AMS (2006)