Richtungsfeld

Ein Richtungsfeld ist integraler Bestandteil einer Differentialgleichung, es definiert die Form der Lösungskurve. Weiterhin bildet es als optische Interpretation die Grundlage für Näherungsverfahren wie beispielsweise das Euler-Verfahren.

Die Lösungen einer Differentialgleichung erster Ordnung einer Skalarfunktion y(x) können in einem 2-dimensionalen Raum mit x in horizontaler und y in vertikaler Richtung gezeichnet werden. Mögliche Lösungen sind Funktionen y(x), die durch Kurven gezeichnet werden. Manchmal ist es schwierig, die Differentialgleichung analytisch zu lösen. Dann kann man jedoch die Tangenten der Funktionskurven z. B. auf einem regelmäßigen Gitter zeichnen. Die Tangenten berühren die Funktionen an den Rasterpunkten.

Mathematische Beschreibung

Ein Richtungsfeld einer Differentialgleichung (erster Ordnung) $y'(x)=F(x,y(x))$ wird gebildet, indem man jedem Punkt $(x,y)$ in der Ebene einen Vektor mit Steigung $F(x,y)$ zuordnet. Dieser gibt die Richtung an, in der die Graphen möglicher Lösungen der Differentialgleichung, die durch den Punkt $(x,y)$ gehen, verlaufen.

Praktisch heißt das, dass in einem Koordinatensystem beliebige Punkte $P(x,y)$ gewählt werden und dazu die Steigung durch Einsetzen in die Differentialgleichung berechnet wird. (Denn die Ableitung $y'$ von $y$ entspricht gerade der Steigung der Funktion.)

Zu $y'(x)=F(x,y(x))$ lautet die Gleichung der einzelnen Tangentenstücke der Länge $l$ :

{\vec {v}}(x,y;\lambda )={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\frac {\lambda }{\sqrt {1+F^{2}(x,y)}}}{\begin{pmatrix}1\\F(x,y)\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad \lambda =\left[-{\frac {l}{2}},{\frac {l}{2}}\right]

Hilfreich bei der grafischen Darstellung sind häufig auch die Isoklinen, gegeben durch die Gleichung $F(x,y)=\mathrm {const}$ , also die Linien gleicher Steigung.

Beispiel

Richtungsfeld für

y'=y-x

Die Differentialgleichung $y'(x)=y(x)-x$ besitzt in allen Punkten $(C,C)$ den Steigungwert 0, da dieser gegeben ist durch $y-x=C-C=0$ . Im Punkt $P_{1}(x,y)=(1,2)$ beträgt er $2-1=1$ , im Punkt $P_{2}(x,y)=(-4,2)$ dann $2-(-4)=6$ . Mit genügend vielen Punkten bekommt man ein Richtungsfeld, in dem Scharen von möglichen Lösungen durch ihre Funktionstangenten ansatzweise sichtbar werden.

Octave-Script für Richtungsfeld

Das Script richtungsfeld.m ist für GNU Octave geschrieben und zeichnet ein Richtungsfeld für DGL ${\dot {y}}(x)=y(x)-x$ , eine Differentialgleichung ersten Grades.

% Inhalt des Files ''richtungsfeld.m''
function richtungsfeld(dgl)
% dgl ist die erste Ableitung von y nach x und ist i.A. eine Funktion von x und y
% Ausschnitt und Abstand zwischen den Vektoren
y = -5:.5:5; x = -5:.5:5;
for y_n = 1:length(y)
 for x_n = 1:length(x)
   len = sqrt( dgl(y(y_n), x(x_n))^2 + 1 ); % Länge des Vektors für Normierung
   dx(y_n,x_n) = 1 / len;                   % Länge des Vektors entlang der Abszisse
   dy(y_n,x_n) = dgl(y(y_n), x(x_n)) / len; % Länge des Vektors entlang der Ordinate
 end
end 
h=quiver(x, y, dx, dy,0.5,"r","linewidth",1); % Vektoren zeichnen 
set (h, "maxheadsize", 0.1); 
xlabel ("x");
ylabel("y");
print('field.svg', '-dsvg')  % Plot als svg-Datei exportieren
% Ende des Files

- Jetzt rufe man das File wie folgt innerhalb einer Octave Session auf:

source("richtungsfeld.m")
dgl = @(y, x) y-x   % Funktionsdefinition 
richtungsfeld(dgl)

Siehe auch

Literatur

W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2
F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. Band 2. 11. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, 1998, ISBN 3-423-03008-9